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设α1，α2，…，αs是一个n维向量组，β和γ也都是n维向量．判断下列命题的正确性． ①如果β，γ都可用α1，α2，…，αs线性表示，则β+γ也可用α1，α2，…，αs线性表示． ②如果β，γ都不可用α1，α2，…，αs线性表示，则β+γ也
设α1，α2，…，αs是一个n维向量组，β和γ也都是n维向量．判断下列命题的正确性． ①如果β，γ都可用α1，α2，…，αs线性表示，则β+γ也可用α1，α2，…，αs线性表示． ②如果β，γ都不可用α1，α2，…，αs线性表示，则β+γ也
admin
2018-06-27
62
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
是一个n维向量组，β和γ也都是n维向量．判断下列命题的正确性．
①如果β，γ都可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，则β+γ也可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示．
②如果β，γ都不可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，则β+γ也不可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示．
③如果β可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，而γ不可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，则β+γ可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示．
④如果β可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，而γ不可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，则β+γ不可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示．
选项
答案
正确的是①和④，②和③都不对． ①显然． ②不对，可用一个反例说明． 取β不可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，γ=-β，则γ也不可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，但是β+γ=0，是可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示． 用反证法说明③不对④对．如果β+γ可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，则因为β可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，所以γ=(β+γ)-β也可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，与条件矛盾． n维向量组β
1
，β
2
，…，β
s
可以用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，即β
1
，β
2
，…，β
s
中的每一个都可以用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示． 向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系：乘积矩阵AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示，而AB的行向量组可以用B的行向量组线性表示． 反过来，如果向量组β
1
，β
2
，…，β
s
可以用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，则矩阵(β
1
，β
2
，…，β
s
)可分解为矩阵(α
1
，α
2
，…，α
s
)和一个矩阵C的乘积．(C这样构造：它的第i个列向量就是β
i
对α
1
，α
2
，…，α
s
的分解系数．)称C为β
1
，β
2
，…，β
s
对α
1
，α
2
，…，α
s
的表示矩阵．(C不一定是唯一的，唯一的充分必要条件是α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关．) 向量组的线性表示关系有传递性，即如果向量组β
1
，β
2
，…，β
s
可以用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，而α
1
，α
2
，…，α
s
可以用γ
1
，γ
2
，…，γ
s
线性表示，则β
1
，β
2
，…，β
s
可以用γ
1
，γ
2
，…，γ
s
线性表示． 当向量组α
1
，α
2
，…，α
s
和β
1
，β
2
，…，β
s
互相都可以线性表示时，就说它们等价，并记作{α
1
，α
2
，…，α
s
}[*]{β
1
，β
2
，…，β
s
}． 等价关系也有传递性．
解析
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考研数学二
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