首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知n维向量组α1,α2……αn中,前n一1个线性相关,后n一1个线性无关,若令β=α1,α2……αn,A=(α1,α2……αn).试证方程组Ax=β必有无穷多组解,且其任意解(α1,α2……αn)T中必有an=1.
已知n维向量组α1,α2……αn中,前n一1个线性相关,后n一1个线性无关,若令β=α1,α2……αn,A=(α1,α2……αn).试证方程组Ax=β必有无穷多组解,且其任意解(α1,α2……αn)T中必有an=1.
admin
2016-01-11
82
问题
已知n维向量组α
1
,α
2
……α
n
中,前n一1个线性相关,后n一1个线性无关,若令β=α
1
,α
2
……α
n
,A=(α
1
,α
2
……α
n
).试证方程组Ax=β必有无穷多组解,且其任意解(α
1
,α
2
……α
n
)
T
中必有a
n
=1.
选项
答案
由题设β=α
1
,α
2
……α
n
,可得 [*] 则向量η=(1,1,…,1)
T
是方程组Ax=β的解,由此知方程组Ax=β有解,故r(A)=r(A,β). 由题设知α
1
,α
2
……α
n-1
线性相关,推得α
1
,α
2
……α
n
线性相关,而又由题设知α
1
,α
2
……α
n
线性无关,所以向量组α
1
,α
2
……α
n
的秩为n一1,从而r(A)=n一1. 综上可知,r(A)=r(A,β)=n一1<n.故方程组Ax=β有无穷多组解,并且其对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n一(n一1)=1个非零解组成. 又由α
1
,α
2
……α
n-1
. 线性相关可知,存在不全为零的数λ
1
,λ
2
……λ
n
,使λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
n-1
α
n-1
=0.由此推得 [*] 所以非零向量(λ
1
,λ
2
,…,λ
n-1
,0)
T
是Ax=0的解,因而是Ax=0的一个基础解系,故Ax=β的通解x=k(λ
1
,λ
2
,…,λ
n-1
,0)
T
+(1,1,…,1,1)
T
,其中k为任意常数,且显见a
n
=1.
解析
本题考查非齐次线性方程组通解的结构和向量组线性相关性的有关理论.是一道抽象方程组求解的证明题.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dv34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=-1/2,λ3=1/2,其对应的特征向量为α1,α2,α3,令P=(2α3,-3α1,-α2),则P-1(A-1+2E)P=________.
设A为n阶正定矩阵.证明:对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵.
设f(x)为可导函数,且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为().
微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0满足y(1)=2的特解是y=___________.
已知E(X)=1,E(X2)=3,用切比雪夫不等式估计P{一1<X<4}≥a,则a的最大值为().
设幂级数an(x+1)n在x=4处条件收敛,在x=-6处发散,则幂级数的收敛域为________.
下列积分发散的是()
设函数y=y(x)由方程组所确定,试求t=0
已知三阶矩阵,记它的伴随矩阵为A*,则三阶行列式________.
已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.
随机试题
狼疮性肾炎Ⅱ型急进性肾炎
下列哪项不属于发病的外环境
急救物品的合格率应保持在
下列哪种土毛细水上升最高?()
球形罐整体热处理时应进行柱脚移动监测,监测柱脚的(),及时调整支柱使其处于垂直状态。
人力的课程资源是历史课程资源的主要组成部分,其中最主要的是()
一个解决机场拥挤问题的节省成本的方案是在间距200到500英里的大城市间提供高速的地面交通。成功地实施这项计划的花费远远少于扩建现有的机场的花费,并且能减少阻塞在机场和空中的飞机的数量。以上计划的支持者们为了论证该计划的正确性,最适于将下面哪一项
FormanygiventaskinBritaintherearemorementhanareneeded.Strongunionskeepthemthere.InFleetStreet,homeofsome
______wasthefirstcountrytogivewomenthevote.
OnWednesday,Sept.23,PresidentBarackObamausedhisfirst-everaddresstotheU.N.GeneralAssemblytotryandreversethei
最新回复
(
0
)