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  3. 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )

设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )

admin2018-01-12  36
问题 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则(    )
选项 A、αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可以由(Ⅱ)线性表示．
C、αm可以由(Ⅰ)线性表示，也可以由(Ⅱ)线性表示．
D、αm可以由(Ⅰ)线性表示，侣不能由(Ⅱ)线性表示．
答案B
解析 按题意，存在组实数k1，k2，…，km使得
    k1α1＋k2α2＋…＋kmαm＝β，    (*)
    且必有km≠0．否则与β不能由α1，α2，…，αm-1线性表示相矛盾，从而

    即αm可由向量组(Ⅱ)线性表示，排除选项A，D．
    若αm可以由(Ⅰ)线性表示，即存在实数l1，l2，…，lm-1，使得
    αm＝l1α1＋l2α2＋…＋lm-1αm-1，
    将其代入(*)中，整理得
    β＝(k1＋kml1)α1＋(k2＋kml2)α2＋…＋(km-1＋kmlm-1)αm-1
    这与题设条件矛盾．因而口。不能由向量组(I)线性表示，排除选项C．。
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