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设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )
设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )
admin
2018-01-12
53
问题
设向量β可由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示，记向量组(Ⅱ)：α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β，则( )
选项
A、α
m
不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、α
m
不能由(Ⅰ)线性表示，但可以由(Ⅱ)线性表示．
C、α
m
可以由(Ⅰ)线性表示，也可以由(Ⅱ)线性表示．
D、α
m
可以由(Ⅰ)线性表示，侣不能由(Ⅱ)线性表示．
答案
B
解析
按题意，存在组实数k
1
，k
2
，…，k
m
使得
k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋…＋k
m
α
m
＝β， (*)
且必有k
m
≠0．否则与β不能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示相矛盾，从而
即α
m
可由向量组(Ⅱ)线性表示，排除选项A，D．
若α
m
可以由(Ⅰ)线性表示，即存在实数l
1
，l
2
，…，l
m-1
，使得
α
m
＝l
1
α
1
＋l
2
α
2
＋…＋l
m-1
α
m-1
，
将其代入(*)中，整理得
β＝(k
1
＋k
m
l
1
)α
1
＋(k
2
＋k
m
l
2
)α
2
＋…＋(k
m-1
＋k
m
l
m-1
)α
m-1
这与题设条件矛盾．因而口。不能由向量组(I)线性表示，排除选项C．。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/e0r4777K
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考研数学一
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