n维向量组a1，a2…，as(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )

admin2015-08-17 73

问题 n维向量组a₁，a₂…，a_s(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )

选项 A、存在一组全为零的数k_a，k₂，…，k_s，使k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s=0
B、a₁，a₂…，a_s中任意两个向量都线性无关
C、a₁，a₂…，a_s中任意一个向量都不能由其余向量线性表出
D、存在一组不全为零的数k_a，k₂，…，k_s，使k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s=0

答案C

解析可用反证法证明之．必要性：假设有一向量，如α_s可由α₁,α₂……α_s-1线性表出，则α₁,α₂……α_s线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出，充分性：假设α₁,α₂……α_s线性相关

至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故α₁,α₂……α_s线性无关．A对任何向量组都有0α₁+0α₂+…+0α_s=0的结论．B必要但不充分，如α₁=[0，1，0]^T，α₂=[1，1，0]^T，α₃=[1，0，0]^T任两个线性无关，但α₁,α₂,α₃线性相关．D必要但不充分．如上例α₁+α₂+α₃≠0，但α₁,α₂,α₃线性相关．

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考研数学一

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