设向量组a1，a2，…，am线性相关，且a1≠0，证明存在某个向量ak(2≤k≤m)，使ak能由a1，ak-1线性表示．

admin2021-02-25 33

问题设向量组a₁，a₂，…，a_m线性相关，且a₁≠0，证明存在某个向量a_k(2≤k≤m)，使a_k能由a₁，a_k-1线性表示．

选项

答案因为a₁，a₂，…，a_m线性相关，所以存在不全为零的数l₁，l₂，…，l_m使l₁a₁+l₂a₂+…+l_ma_m=0成立．由于l₁，l₂，…，l_m不全为零，取最后一个不为零的数l_k，即：l_k+1=l_k+2=…=l_m=0，则k≠1，否则l₁a₁=0与a₁≠0矛盾．所以由l₁a₁+l₂a₂+…+l_ka_k=0可得： a_k=[*]，从而可知存在某个向量口a_k(2≤k≤m)，使a_k能由a₁，…，a_k-1线性表示．

解析

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