设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2=一1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜=________。

admin2019-08-11 67

问题设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ₁=1，λ₂=一1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜=________。

选项

答案18

解析由｜2E+A｜=0，可得｜一2E—A｜=0，即λ=一2是A的一个特征值。
因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ₁=1，λ₂=一1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ₁=1，λ₂=一1，λ₃=一2，则E+2B的三个特征值分别为3，一1，一3。从而可得｜A｜=λ₁λ₂λ₃=2，｜E+2B｜=3×(一1)×(一3)=9，故｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜．｜E+2B｜=18。

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