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设A=,B=U-1A*U.求B+2E的特征值和特征向量.
设A=,B=U-1A*U.求B+2E的特征值和特征向量.
admin
2019-07-22
62
问题
设A=
,B=U
-1
A
*
U.求B+2E的特征值和特征向量.
选项
答案
本题可先求出B+2E(先求A
*
,再求B,再求B+2E),然后求它的特征值与特征向量,这样做计算量大.一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算. ①求特征值. A=C+E,其中 [*] 则C的特征值为0,0,6,从而A的特征值为1,1,7.|A|=1×1×7=7. 根据定理5.5的②,A
*
的特征值为7,7,1. B~A
*
,从而B和A
*
特征值完全一样,也是7,7,1. B+2E的特征值为9,9,3. ②求特征向量. A
*
与A的对应特征值(指1与7,7与1)的特征向量一样,B+2E与B对应特征值(指7与9,1与3)的特征向量也一样,根据定理5.8的④,A
*
η=λη[*]BU
-1
η=λU
-1
η.于是可以由A的特征向量来得到B+2E的特征向量. 4的属于1的特征向量就是A
*
的属于7的特征向量,用U
-1
左乘后就是B的属于7的特征向量也就是B+2E的属于9的特征向量. A的属于1的特征向量,即(A-E)X=0的非零解.求得(A-E)X=0的基础解系 η
1
=(1,-1,0)
T
,η
2
=(1,0,-1)
T
. 于是A的属于1的特征向量的为 c
2
η
1
+c
2
η
2
,c
2
,c
2
不全为0. 求出ξ
1
=U
-1
η
1
=(-1,1,0)
T
,ξ
2
=U
-1
η
2
=(1,1,-1)
T
,则B+2E的属于9的特征向量为 c
1
ξ
1
+c
2
ξ
2
,c
2
,c
2
不全为0. 同理,A的属于7的特征向量用U
-1
左乘后就是B+2E的属于3的特征向量. 求出A的属于7的特征向量(即(A-7E)X=0的非零解)为 cζ,c不为0,其中η=(1,1,1)
T
, 记ξ=U
-1
η=(0,1,1)
T
,则B+2E的属于9的特征向量为cξ,c≠0.
解析
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考研数学二
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