设矩阵,B=P—1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。

admin2019-07-22  49

问题 设矩阵,B=P—1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。

选项

答案设A的特征值为A,对应特征向量为η,则有Aη=λη。由于|A|=7≠0,所以λ≠0。 又因A*A=|A|E,故有A*η=[*]。于是有 B(P—1η)=P—1A*P(P—1)=[*] (B+2E)P—1η=[*] 因此,[*]为B+2E的特征值,对应的特征向量为P—1η。 由于 |λE—A|=[*]=(λ一1)2(λ一7), 故A的特征值为λ12=1,λ3=7。 当λ12=1时,对应的线性无关的两个特征向量可取为[*] 当λ3=7时,对应的一个特征向量可取为η3=[*]。 由[*]。 因此,B+2E的三个特征值分别为9,9,3。 对应于特征值9的全部特征向量为 k1P—1η1+k2P—1η2=[*] 其中k1,k2是不全为零的任意常数; 对应于特征值3的全部特征向量为 k3P—1η3=[*], 其中k3是不为零的任意常数。

解析
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