(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵． (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

admin2018-11-20 56

问题 (1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．
(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

选项

答案(1)设B和A乘积可交换，要证明B是对角矩阵，即要说明B的对角线外的元素b_ij(i≠j)都为0．设A的对角线元素为λ₁，λ₂，…，λ_n．则AB的(i，j)位元素为λ_ib_ij,而BA的(i，j)位元素为λ_ib_ij．因为AB=BA，得 λ_ib_ij=λ_jb_ij 因为λ_i≠λ_j，所以b_ij=0． (2)先说明C一定是对角矩阵．由于C与对角线上元素两两不相等的n阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出C是对角矩阵．再说明C的对角线元素c₁₁,c₂₂，…，c_nn都相等．构造n阶矩阵A，使得其(i，j)位元素为1，i≠j． CA的(i，j)位元素为c_ii,AC的(i，j)位元素为c_jj．于是c_ii=c_jj．这里的i，j是任意的，从而 c₁₁=c₂₂=…=c_nn．

解析

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考研数学三

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(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵． (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

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设f(x)是连续函数．若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤(eax一1)．

设有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．

设n阶矩阵A满足A2+2A一3E=0．求：(A+2E)一1；

n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则()．

设n维行向量α=，A=E一αTα，B=E+2αTα，则AB为()．

二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32一4x1x2一8x1x3一4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+by22一4y32，求：正交变换的矩阵Q．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f()一1，f(1)=0．证明：对任意的k∈(一∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，f(x)dx=0．证明：存在η∈(a，b)，使得f’(η)一3f’(17)+2f(η)=0．

设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且=M．证明：f’(x0)=M．

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除油器的作用是分离压缩空气中所含的___、_和_等杂质，使压缩空气得到___。

水路运输具有哪些技术经济特征?

Believeitornot,opticalillusion(错觉)cancuthighwaycrashes.(78)Japanisacaseinpoint.(79)Ithasreducedautomob

A、氯霉素B、头孢噻肟钠C、克拉霉素D、克拉维酸钾E、阿米卡星可引起再生障碍性贫血的药物

以下关于企业自产工业固体废物处理的说法，符合《固体废物污染环境防治法》的是(　　　)。

在员工职业生涯中期阶段中，对员工成长尤为重要的是()。

在和平与发展的时代，世界范围的竞争是（）。

已知方程组有无穷多解，则a＝______．

Itis______ofyoutoturndowntheradiowhileyoursisterisstillinbed.

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