2. 考研
  3. 设f(u，v)具有连续偏导数，且满足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

设f(u，v)具有连续偏导数，且满足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2019-01-26  48
问题 设f(u，v)具有连续偏导数，且满足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
选项
答案方法一：y(x)=e－2xf(x，x)对x求导得 y’=－2e－2xf(x，x)+e－2xf1’(x，x)+e－2xf2’(x，x) =－2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)] =－2y+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]， 因为f’u(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，所以f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2，因此y’=－2y+x2e－2x，即y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x2e－2x。 由一阶线性微分方程的通解公式得 [*] 其中C为任意常数。 方法二：由y(x)=e－2xf(x，x)得 f(x，x)=e2xy(x)， 因为fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，所以f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2，即 [*] 将其代入f(x，x)=e2xy(x)有[e2xy(x)]’=x2，即 2e2xy(x)+e2xy’(x)=x2， 化简得 y’(x)+2y(x)=x2e－2x。 由一阶线性微分方程的通解公式得 [*] 其中C为任意常数。
解析
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考研数学二

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