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设f(u,v)具有连续偏导数,且满足fu’(u,v)+fv’(u,v)=uv,求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
设f(u,v)具有连续偏导数,且满足fu’(u,v)+fv’(u,v)=uv,求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
admin
2019-01-26
67
问题
设f(u,v)具有连续偏导数,且满足f
u
’(u,v)+f
v
’(u,v)=uv,求y(x)=e
-2x
f(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
选项
答案
方法一:y(x)=e
-2x
f(x,x)对x求导得 y’=-2e
-2x
f(x,x)+e
-2x
f
1
’(x,x)+e
-2x
f
2
’(x,x) =-2e
-2x
f(x,x)+e
-2x
[f
1
’(x,x)+f
2
’(x,x)] =-2y+e
-2x
[f
1
’(x,x)+f
2
’(x,x)], 因为f’
u
(u,v)+f
v
’(u,v)=uv,即f
1
’(u,v)+f
2
’(u,v)=uv,所以f
1
’(x,x)+f
2
’(x,x)=x
2
,因此y’=-2y+x
2
e
-2x
,即y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x
2
e
-2x
。 由一阶线性微分方程的通解公式得 [*] 其中C为任意常数。 方法二:由y(x)=e
-2x
f(x,x)得 f(x,x)=e
2x
y(x), 因为f
u
’(u,v)+f
v
’(u,v)=uv,即f
1
’(u,v)+f
2
’(u,v)=uv,所以f
1
’(x,x)+f
2
’(x,x)=x
2
,即 [*] 将其代入f(x,x)=e
2x
y(x)有[e
2x
y(x)]’=x
2
,即 2e
2x
y(x)+e
2x
y’(x)=x
2
, 化简得 y’(x)+2y(x)=x
2
e
-2x
。 由一阶线性微分方程的通解公式得 [*] 其中C为任意常数。
解析
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考研数学二
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