2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导且f’(x)＜0(x∈(0，1))，则( )

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导且f’(x)＜0(x∈(0，1))，则( )

admin2019-01-06  3
问题 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导且f’(x)＜0(x∈(0，1))，则(    )
选项 A、当0＜x＜1时∫0xf(t)dt＞∫01xf(t)dt
B、当0＜x＜1时∫0xf(t)dt=∫01xf(t)dt
C、当0＜x＜时∫0xf(t)dt＜∫01=xf(t)dt
D、以上结论均不正确．
答案A
解析 记F(x)=∫01f(t)dt一∫01xf(t)dt，则F’(x)=f(x)一∫01f(t)dt在[0，1]连续，且F"(x)=f’(x)＜0(戈∈(0，1))，因此F’(x)在[0，1]上单调下降．
    又F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，则存在ξ∈(0，1)，使

  故  F(x)＞0(x∈(0，1))，故选A．
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考研数学三

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