2. 考研
  3. [2001年] 设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数，且f’’(x)≠0．试证： 对于(一1，1)内任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θx)成立；

[2001年] 设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数，且f’’(x)≠0．试证： 对于(一1，1)内任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θx)成立；

admin2019-04-08  50
问题 [2001年]  设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数，且f’’(x)≠0．试证：
对于(一1，1)内任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θx)成立；
选项
答案取x0=0，由拉格朗日中值定理知，对任意x∈(一1，1)，x≠0，存在θ∈(0，1)使f(x)=f(0)+xf’(θx)，其中θ与x有关．由f’’(x)连续且f’’(x)≠0知，f’’(x)在(-1，1)内不变号．因为如果f’’(x)变号，则由f’’(x)连续，利用零点定理知，必有x0存在，使f’’(x0)=0，与f’’(x)≠0矛盾．不妨设f’’(x)＞0，则f’(x)在(一1，1)内严格单增，故上题中的θ唯一确定．
解析
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考研数学一

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