设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2β2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．

admin2018-04-15 47

问题设α₁，α₂，…，α_s为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β₁=t₁α₁+t₂β₂，β₂=t₁α₂+t₂α₃，…，β_s=t₁α_s+t₂α₁，其中t₁，t₂为实常数．试问t₁，t₂满足什么关系时，β₁，β₂，…，β_s也为Ax=0的一个基础解系．

选项

答案由Aβ₁=A(t₁α₁+t₂α₂)=t₁Aα₁+t₂Aα₂=0+0=0，知β₁为Ax=0的解，同理可知β₂，β₃，…，β_s均为Ax=0的解．已知Ax=0的基础解系含s个向量，故Ax=0的任何s个线性无关的解都可作为Ax=0的基础解系．因此β₁，β₂，…，β_s为Ax=0的基础解系，当且仅当β₁，β₂，…，β_s线性无关．设有一组数k₁，k₂，…，k_s，使得 k₁β₁+k₂β₂+…+k_sβ_s=0 即(t₁k₁+t₂k₂)α₁+(t₂k₁+t₁k₂)α₂+…+(t₂k_s—1+t₁k_s)α_s=0，由于α₁，α₂，…，α_s线性无关，有 [*] (*) 上面齐次线性方程组的系数行列式为 [*] 故当且仅当t₁^s+(一1)^I+st₂^s≠1时，即当s为偶数，t₁≠±t₂；s为奇数，t₁≠一t₂时，齐次线性方程组(*)只有零解，β₁，β₂，…，β_s线性无关，从而可作为Ax=0的基础解系．

解析本题综合考查齐次线性方程组的基础解系的概念及其只有零解的条件，向量组线性相关性的概念及其判定．注意本题判定β₁，β₂，…，β_s的线性相关性，属于一种常见题型．

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