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设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2β2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．
设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2β2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．
admin
2018-04-15
48
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β
1
=t
1
α
1
+t
2
β
2
，β
2
=t
1
α
2
+t
2
α
3
，…，β
s
=t
1
α
s
+t
2
α
1
，其中t
1
，t
2
为实常数．试问t
1
，t
2
满足什么关系时，β
1
，β
2
，…，β
s
也为Ax=0的一个基础解系．
选项
答案
由Aβ
1
=A(t
1
α
1
+t
2
α
2
)=t
1
Aα
1
+t
2
Aα
2
=0+0=0，知β
1
为Ax=0的解，同理可知β
2
，β
3
，…，β
s
均为Ax=0的解．已知Ax=0的基础解系含s个向量，故Ax=0的任何s个线性无关的解都可作为Ax=0的基础解系．因此β
1
，β
2
，…，β
s
为Ax=0的基础解系，当且仅当β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关． 设有一组数k
1
，k
2
，…，k
s
，使得 k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0 即(t
1
k
1
+t
2
k
2
)α
1
+(t
2
k
1
+t
1
k
2
)α
2
+…+(t
2
k
s—1
+t
1
k
s
)α
s
=0， 由于α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，有 [*] (*) 上面齐次线性方程组的系数行列式为 [*] 故当且仅当t
1
s
+(一1)
I+s
t
2
s
≠1时，即当s为偶数，t
1
≠±t
2
；s为奇数，t
1
≠一t
2
时，齐次线性方程组(*)只有零解，β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关，从而可作为Ax=0的基础解系．
解析
本题综合考查齐次线性方程组的基础解系的概念及其只有零解的条件，向量组线性相关性的概念及其判定．注意本题判定β
1
，β
2
，…，β
s
的线性相关性，属于一种常见题型．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/j4r4777K
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考研数学一
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