2. 考研
  3. 设a＝(a1，a2，…an)T，a1≠0，A＝aaT， (1)证明λ＝0是A的n－1重特征值； (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

设a＝(a1，a2，…an)T，a1≠0，A＝aaT， (1)证明λ＝0是A的n－1重特征值； (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

admin2018-04-15  31
问题 设a＝(a1，a2，…an)T，a1≠0，A＝aaT，
    (1)证明λ＝0是A的n－1重特征值；
    (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．
选项
答案(1)A为对称阵，故A与对角阵∧＝diag(λ1，λ2，…，λn)相似，其中λ1，λ2，…，λn是A的全部特征值． 因为A＝aaT且a≠0，所以r(A)＝1，从而r(∧)＝1，于是∧只有一个非零对角元，因此λ＝0是A的n－1重特征值． (2)设λ1＝aTa，λ2＝…＝λn＝0． 因为Aa＝aaTa＝(aTa)a＝λ1a，所以p1＝a是对应于λ1＝aTa的特征向量．对于λ2＝…＝λn＝0，解方程Aχ＝0，即aaTχ＝0． 已知a≠0，因此aTχ＝0，即a1χ1＋a2χ2＋…＋anχn＝0，所以其余(n－1)个线性无关特征向 P2＝(－a2，a1，0，…，0)T， P3＝(－a3，0，a1，…，0)T， Pn＝(－an，0，0，…，a1)T．
解析
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考研数学一

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