(1998年)设χ∈(0，1)，证明 (1)(1＋χ)ln2(1＋χ)＜χ2； (2)

admin2019-08-01 51

问题 (1998年)设χ∈(0，1)，证明
(1)(1＋χ)ln²(1＋χ)＜χ²；
(2)

选项

答案(1)令φ(χ)＝(1＋χ)ln²(1＋χ)－χ²，φ(0)＝0 φ′(χ)＝ln²(1＋χ)＋2ln(1＋χ)－2χ，φ′(0)＝0 [*] 于是φ〞(χ)在(0，1)内严格单调减少，又φ〞(0)＝0，所以在(0，1)内φ〞(χ)<0．于是φ′(χ)在(0，1)内严格单调减少，又φ′(0)＝0，故在(0，1)内φ′(χ)＜0．故φ(χ)在(0，1)内严格单调减少．又φ(0)＝0，故在(0，1)内φ(χ)＜0． [*] 由(1)知f′(χ)＜0，(当χ∈(0，1))，于是可知f(χ)在(0，1)上严格单调减少，f(1)＝[*]一1，故当χ∈(0，1)时． f(χ)＝[*] 不等式左边证毕．又 [*] 故当χ∈(0，1)时，f(χ)＝[*]不等式右边证毕．

解析

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