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(1998年)设χ∈(0,1),证明 (1)(1+χ)ln2(1+χ)<χ2; (2)
(1998年)设χ∈(0,1),证明 (1)(1+χ)ln2(1+χ)<χ2; (2)
admin
2019-08-01
43
问题
(1998年)设χ∈(0,1),证明
(1)(1+χ)ln
2
(1+χ)<χ
2
;
(2)
选项
答案
(1)令φ(χ)=(1+χ)ln
2
(1+χ)-χ
2
,φ(0)=0 φ′(χ)=ln
2
(1+χ)+2ln(1+χ)-2χ,φ′(0)=0 [*] 于是φ〞(χ)在(0,1)内严格单调减少,又φ〞(0)=0,所以在(0,1)内φ〞(χ)<0.于是φ′(χ)在(0,1)内严格单调减少,又φ′(0)=0,故在(0,1)内φ′(χ)<0.故φ(χ)在(0,1)内严格单调减少.又φ(0)=0,故在(0,1)内φ(χ)<0. [*] 由(1)知f′(χ)<0,(当χ∈(0,1)),于是可知f(χ)在(0,1)上严格单调减少,f(1)=[*]一1,故当χ∈(0,1)时. f(χ)=[*] 不等式左边证毕.又 [*] 故当χ∈(0,1)时,f(χ)=[*]不等式右边证毕.
解析
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