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已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵,α1,α2,α3,α4是4维列向量,若方程组Ax一β的通解为k(1,2,3,0)T+(1,1,1,1)T,其中k为任意常数,又矩阵B=(α3,α2,α1,β一α4),求方程组Bx=α1一α2的通解.
已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵,α1,α2,α3,α4是4维列向量,若方程组Ax一β的通解为k(1,2,3,0)T+(1,1,1,1)T,其中k为任意常数,又矩阵B=(α3,α2,α1,β一α4),求方程组Bx=α1一α2的通解.
admin
2020-10-21
53
问题
已知A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)是4阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是4维列向量,若方程组Ax一β的通解为k(1,2,3,0)
T
+(1,1,1,1)
T
,其中k为任意常数,又矩阵B=(α
3
,α
2
,α
1
,β一α
4
),求方程组Bx=α
1
一α
2
的通解.
选项
答案
由方程组Ax=β的通解为k(1,2,3,0)
T
+(1,1,1,1)
T
,得4一R(A)=1,即R(A)=3; 由此可知,α
1
,α
2
,α
3
线性相关,若R(α
1
,α
2
,α
3
)≤1,则R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=R(A)≤2,与R(A)=3矛盾.故R(α
1
,α
2
,α
3
)=2. 又B=(α
3
,α
2
,α
1
,β一α
4
)=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
|α
2
+α
3
),所以R(B)=R(B[*]α
1
—α
2
)=2,于是方程组Bx=α
1
—α
2
有解,且Bx=0有4—R(B)=2个线性无关的解向量. 由 [*] 知(3,2,1,0)
T
是Bx=0的解. 由 [*] 知(1,1,1,一1)
T
是Bx=0的解. 由 [*] 知(0,—1,1,0)
T
是Bx=α
1
—α
2
的一个解. 故方程组Bx=α
1
—α
2
的通解为 x=k
1
(3,2,1,0)
T
+k
2
(1,1,1,—1)
T
+(0,—1,1,0)
T
, 其中k
1
,k
2
为任意常数.
解析
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考研数学二
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