(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并

admin2019-03-07 16

问题 (1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S₁，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S₂，并设2S₁一S₂恒为1，求此曲线y=y(x)的方程。

选项

答案如图，曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y—y(x)=y′(x)(X—x)，所以切线与x轴的交点为[*] [*] 由于y′(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞0(x＞0)，于是 [*] 根据题设2S₁一S₂=1，即[*]两边对x求导并化简得yy"=(y′)²，这是可降阶得二阶常微分方程，令p=y′，则 [*] 则上述方程可化为[*]分离变量得[*]解得p=C₁y,即[*]从而有 y=e^C₁x+C₂ 根据y(0)=1，y′(0)=1，可得C₁=1，C₂=0，故所求曲线得方程为y=e^x。

解析

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考研数学一

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(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并

考研数学一

设A为n阶矩阵，A2＝A，则下列成立的是()．

已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1＝α1＋α3＋α4，β2＝α2－α4，β3＝α3＋α4，β4＝α2＋α3，β5＝2α1＋α2＋α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5)＝()

设事件A，C独立，B，C也独立，且A，B不相容，则()．

设有向量组α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，-1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α5=(2，-1，4，1)。(Ⅰ)求向量组的秩；(Ⅱ)求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示。

设向量组α1=(6，λ+1，7)T，α2=(λ，2，2)T，α3=(λ，1，0)T线性相关，则()

解齐次方程组

(1998年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)。

(2011年)设L是柱面方程x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

(2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则()

(2009年)椭球面S1是椭圆绕x轴旋转而成，圆锥面S2是由过点(4，0)且与椭圆相切的直线绕x轴旋转而成。(I)求S1及S2的方程；(Ⅱ)求S1与S2之间的立体体积。

Everyoneseemstobeinfavorofprogress.But"progress"isafunnyword.Itdoesn’tnecessarilymeanthatsomethinghasbecom

在国际货物买卖合同中，在货物的风险转移至买方之后，卖方对货物与合同不符概不承担责任。()

(　　)是基金管理公司最核心的一项业务。

法院受理破产申请后，首先应做的一项工作是()。

某公司刚刚发放的每股股利为0．53元／股，股票市价目前为16．2元／股，若股东要求的收益率为10％，在其他因素不变的情况下，公司成长率至少要达到()。

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

设二维随机变量(X1，X2)的概率密度函数为f(x1，x2)，则随机变量(y1，y2)(其中Y1的概率密度函数f1(y1，y2)等于()

Creatingsomuchconfusion,Masonrealizedhehadbettermake______whathewastryingtotelltheaudience.

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(2009年)椭球面S1是椭圆绕x轴旋转而成，圆锥面S2是由过点(4，0)且与椭圆相切的直线绕x轴旋转而成。(I)求S1及S2的方程；(Ⅱ)求S1与S2之间的立体体积。

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在国际货物买卖合同中，在货物的风险转移至买方之后，卖方对货物与合同不符概不承担责任。()

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法院受理破产申请后，首先应做的一项工作是()。

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