设函数f(x)具有连续的一阶导数，且满足f(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt+x2，求f(x)的表达式．

admin2021-08-05 41

问题设函数f(x)具有连续的一阶导数，且满足f(x)=∫₀^x(x²一t²)f’(t)dt+x²，求f(x)的表达式．

选项

答案先将所给方程变形，将x²从被积函数中分离出来，即 f(x)=x²∫₀^xf^t(t)dt一∫₀^xt²f’(t)dt+x² (*) 将(*)式两端对x求导，可得 f’(x)=2x∫₀^xf’(t)dt+x²f’(x)一x²f’(x)+2x，即 f’(x)=2x∫₀^xf’(t)dt+2x=2xf(t)｜₀^x+2x =2xf(x)—2xf(0)+2x, 由(*)式可知f(0)=0，因此f’(x)=2x[f(x)+1]，分离变量得 [*] 两端积分得In｜f(x)+1｜=x³+C₁，即f(x)=[*]—1．由f(0)=0，可知C=1，因此 f(x)=[*]一1．

解析

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