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考研
设函数f(x)具有连续的一阶导数,且满足f(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt+x2,求f(x)的表达式.
设函数f(x)具有连续的一阶导数,且满足f(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt+x2,求f(x)的表达式.
admin
2021-08-05
40
问题
设函数f(x)具有连续的一阶导数,且满足f(x)=∫
0
x
(x
2
一t
2
)f’(t)dt+x
2
,求f(x)的表达式.
选项
答案
先将所给方程变形,将x
2
从被积函数中分离出来,即 f(x)=x
2
∫
0
x
f
t
(t)dt一∫
0
x
t
2
f’(t)dt+x
2
(*) 将(*)式两端对x求导,可得 f’(x)=2x∫
0
x
f’(t)dt+x
2
f’(x)一x
2
f’(x)+2x, 即 f’(x)=2x∫
0
x
f’(t)dt+2x=2xf(t)|
0
x
+2x =2xf(x)—2xf(0)+2x, 由(*)式可知f(0)=0,因此f’(x)=2x[f(x)+1],分离变量得 [*] 两端积分得In|f(x)+1|=x
3
+C
1
,即f(x)=[*]—1. 由f(0)=0,可知C=1,因此 f(x)=[*]一1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ePy4777K
0
考研数学二
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