2. 考研
  3. 设函数f(x)具有连续的一阶导数，且满足f(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt+x2，求f(x)的表达式．

设函数f(x)具有连续的一阶导数，且满足f(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt+x2，求f(x)的表达式．

admin2021-08-05  44
问题 设函数f(x)具有连续的一阶导数，且满足f(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt+x2，求f(x)的表达式．
选项
答案先将所给方程变形，将x2从被积函数中分离出来，即 f(x)=x2∫0xft(t)dt一∫0xt2f’(t)dt+x2 (*) 将(*)式两端对x求导，可得 f’(x)=2x∫0xf’(t)dt+x2f’(x)一x2f’(x)+2x， 即 f’(x)=2x∫0xf’(t)dt+2x=2xf(t)｜0x+2x =2xf(x)—2xf(0)+2x, 由(*)式可知f(0)=0，因此f’(x)=2x[f(x)+1]，分离变量得 [*] 两端积分得In｜f(x)+1｜=x3+C1，即f(x)=[*]—1． 由f(0)=0，可知C=1，因此 f(x)=[*]一1．
解析
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考研数学二

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