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设f(x)在区间[0,1]上可导,f(1)=2∫01/2x2f(x)dx.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
设f(x)在区间[0,1]上可导,f(1)=2∫01/2x2f(x)dx.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
admin
2021-10-18
53
问题
设f(x)在区间[0,1]上可导,f(1)=2∫
0
1/2
x
2
f(x)dx.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
选项
答案
令φ(x)=x
2
f(x),由积分中值定理得f(1)=∫
0
1/2
x
2
f(x)dx=c
2
f(c),其中c∈[0,1/2],即φ(c)=φ(1),显然φ(x)在区间[0,1]上可导,由罗尔中值定理,存在ξ∈(c,1)∈(0,1),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=2xf(x)+x
2
f’(x),所以2ξf(ξ)+ξ
2
f’(ξ)=0,注意到ξ≠0,故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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