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[2005年] 设函数f(x)=，则f(x)在(一∞，+∞)内( )．

admin2019-04-05  31
问题 [2005年]  设函数f(x)=，则f(x)在(一∞，+∞)内(    )．
选项 A、处处可导
B、恰有一个不可导点
C、恰有两个不可导点
D、至少有三个不可导点
答案C
解析 先去绝对值求出f(x)的表达式，再根据具体表达式讨论其可导性．因只判断导数是否存在，也可借助函数的图形求解．
解一  当∣x∣＜1时，f(x)==1．
当∣x∣=1时，f(x)==1．
当∣x∣＞1时f(x)==∣x∣3，
故    f(x)=即  f(x)=         ①
显然当∣x∣＜1及∣x∣＞1时，f(x)均可导．在x=一1处，
f＇-(一1)=一(x2一x+1)=一3，
f＇+(一1)==0．
因f＇-(一1)≠f＇+(一1)，由命题1．2．1．5(2)知，f(x)在x=一1处不可导．而在x=1处，
f＇+(1)=(x2+x+1)=3，
f-(1)==0，
因f+(1)≠f-(1)，故f(x)在x=1处也不可导．除x=±1外，f(x)在(一∞，+∞)内处处可导．仅(C)入选．
解二  由解一中的式①易求出函数y=f(x)的图形如图1．2．2．1所示．由图1．2．2．1知f(x)在x=±1处不可导．事实上，x=±1为f(x)的图形上的尖点，其余各点f(x)均可导．
仅(C)入选．
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考研数学二

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