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考研
[2009年2]e-xsinnx dx=__________.
[2009年2]e-xsinnx dx=__________.
admin
2019-04-05
70
问题
[2009年2]
e
-x
sinnx dx=__________.
选项
答案
先用分部积分法求出定积分,再求极限. 解一令I
n
=∫e
-x
sinxdx=-∫sinx de
-x
=-e
-x
sinnx+n∫e
-x
cosnx dx =-e
-x
sinnx-n∫cosnx de
-x
=一e
-x
sinnx一ne
-x
cosnx一n
2
∫e
-x
sinnxdx =一e
-x
sinnx一ne
-x
cosnx一n
2
I
n
, 故I
n
=[*]e
-x
,所以 ∫
0
1
e
-x
sinnxdx=一[*] 因而[*]=0. 解二 因e
-x
在[0,1]上连续,故e
-x
在[0,1]上有界.事实上,在[0,1]上有e
-x
≤1,于是 0≤∣∫
0
1
e
-x
sinnx dx∣≤1.∫
0
1
sindx=一[*] 由夹逼准则得 [*]∫
0
1
e
-x
sinndx∣=0,从而[*]∫
0
1
e
-x
sinnx dx=0.
解析
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考研数学二
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