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在区间[0,a]上|f”(x)|≤M,且f(x)在(0,a)内取得极大值.证明:|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.
在区间[0,a]上|f”(x)|≤M,且f(x)在(0,a)内取得极大值.证明:|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.
admin
2018-09-20
64
问题
在区间[0,a]上|f”(x)|≤M,且f(x)在(0,a)内取得极大值.证明:|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.
选项
答案
f(x)在(0,a)内取得极大值,不妨设在点x=c处取到,则f’(c)=0.f’(x)在[0,c]与[c,a]上分别使用拉格朗日中值定理,有 f’(c)一f’(0)=cf"(ξ
1
),ξ
1
∈(0,c), f’(a)一f’(c)=(a一c)f"(ξ
2
),ξ
2
∈(c,a), 所以 |f’(0)|+|f’(a)|=c|f"(ξ
1
)|+(a一c)|f"(ξ
2
)|≤cM+(a一c)M=aM.
解析
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考研数学三
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