在区间[0，a]上|f”(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma．

admin2018-09-20 32

问题在区间[0，a]上|f”(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma．

选项

答案f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设在点x=c处取到，则f’(c)=0．f’(x)在[0，c]与[c，a]上分别使用拉格朗日中值定理，有 f’(c)一f’(0)=cf"(ξ₁)，ξ₁∈(0，c)， f’(a)一f’(c)=(a一c)f"(ξ₂)，ξ₂∈(c，a)，所以 |f’(0)|+|f’(a)|=c|f"(ξ₁)|+(a一c)|f"(ξ₂)|≤cM+(a一c)M=aM．

解析

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