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  3. 已知n维列向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr(r＜n)线性无关，则n维列向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βr线性无关的充分必要条件为( )。

已知n维列向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr(r＜n)线性无关，则n维列向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βr线性无关的充分必要条件为( )。

admin2019-02-23  15
问题 已知n维列向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr(r＜n)线性无关，则n维列向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βr线性无关的充分必要条件为(    )。
选项 A、β1，β2，…，βr可由α1，α2，…，αr线性表示。
B、α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βr线性表示。
C、α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βr等价。
D、矩阵A=(α1，α2，…，αr)与B=(β1，β2，…，βr)等价。
答案D
解析 对于选项(A)，由已知条件只能得R(Ⅱ)≤R(Ⅰ)=r，但得不到R(Ⅱ)=R(Ⅰ)=r，
故(A)不正确。
    对于选项(B)，由已知条件知r=R(Ⅰ)≤R(Ⅱ)≤r，于是R(Ⅱ)=r，即β1，β2，…，βr线性无关。
因而(B)是充分条件。但若β1，β2，…，βr线性无关，是不能得出α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βr线性表出的结论。例如，(Ⅰ)：e1=(1，0，0)T，e2=(0，1，0)T；
(Ⅱ)e2=(0，1，0)T，e3=(0，0，1)T，
(Ⅰ)(Ⅱ)均线性无关，但(Ⅰ)不可由(Ⅱ)线性表出，故(B)错误。
    对于选项(C)，由于(B)不是必要条件，则(C)就不可能是必要条件。
    对于选项(D)，注意到两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等，由题设知R(A)=R(Ⅰ)=r，则A与B等价(B)=rβ1，β2，…，βr线性无关，所以选项(D)是正确的。
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考研数学一

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