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已知n维列向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr(r<n)线性无关,则n维列向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βr线性无关的充分必要条件为( )。
已知n维列向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr(r<n)线性无关,则n维列向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βr线性无关的充分必要条件为( )。
admin
2019-02-23
23
问题
已知n维列向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,…,α
r
(r<n)线性无关,则n维列向量组(Ⅱ):β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关的充分必要条件为( )。
选项
A、β
1
,β
2
,…,β
r
可由α
1
,α
2
,…,α
r
线性表示。
B、α
1
,α
2
,…,α
r
可由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表示。
C、α
1
,α
2
,…,α
r
和β
1
,β
2
,…,β
r
等价。
D、矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
r
)与B=(β
1
,β
2
,…,β
r
)等价。
答案
D
解析
对于选项(A),由已知条件只能得R(Ⅱ)≤R(Ⅰ)=r,但得不到R(Ⅱ)=R(Ⅰ)=r,
故(A)不正确。
对于选项(B),由已知条件知r=R(Ⅰ)≤R(Ⅱ)≤r,于是R(Ⅱ)=r,即β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关。
因而(B)是充分条件。但若β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关,是不能得出α
1
,α
2
,…,α
r
可由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表出的结论。例如,(Ⅰ):e
1
=(1,0,0)
T
,e
2
=(0,1,0)
T
;
(Ⅱ)e
2
=(0,1,0)
T
,e
3
=(0,0,1)
T
,
(Ⅰ)(Ⅱ)均线性无关,但(Ⅰ)不可由(Ⅱ)线性表出,故(B)错误。
对于选项(C),由于(B)不是必要条件,则(C)就不可能是必要条件。
对于选项(D),注意到两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等,由题设知R(A)=R(Ⅰ)=r,则A与B等价
(B)=r
β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关,所以选项(D)是正确的。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/en04777K
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