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求(y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0的通解.
求(y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0的通解.
admin
2016-07-22
30
问题
求(y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+(3xy
2
-3x
2
y
3
-x
3
+y
2
)dy=0的通解.
选项
答案
可以验知,这是全微分方程.按解全微分方程办法解之. 记P(x,y)=y
3
-3xy
2
-3x
2
y,Q(x,y)=3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
,有 [*] 故知这是全微分方程. 方法一 按折线求曲线积分法,取点(x
0
,y
0
)使P(x,y)与Q(x,y)在此点连续即可.例如取(x
0
,y
0
)=(0,0),有 [*] 方法二 原函数法.先将y当作常量, u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y)=∫(y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+P(y)=xy
3
-[*]x
2
y
2
-x
3
y+φ(y), 其中φ(y)为对y可微的待定函数.又由[*]=Q(x,y)得 3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
=[*]=3xy
2
-3x
2
y-x
3
+φ’(y). 所以 φ’(y)=y
2
, 从而得φ(y)=[*]+C
0
,其中C
0
为任意常数,故得一个原函数(令C
0
=0) [*] 方法三 分项组合视察法.将原给方程通过视察分项组合. (y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+(3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
)dy =(y
3
dx+3xy
2
dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x
2
ydx+x
3
dy)+y
2
dy =0, 即[*]
解析
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0
考研数学一
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