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  3. 求(y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0的通解．

求(y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0的通解．

admin2016-07-22  30
问题 求(y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0的通解．
选项
答案可以验知，这是全微分方程．按解全微分方程办法解之． 记P(x，y)=y3-3xy2-3x2y，Q(x，y)=3xy2-3x2y-x3+y2，有 [*] 故知这是全微分方程． 方法一 按折线求曲线积分法，取点(x0，y0)使P(x，y)与Q(x，y)在此点连续即可．例如取(x0，y0)=(0，0)，有 [*] 方法二 原函数法．先将y当作常量， u(x，y)=∫P(x，y)dx+φ(y)=∫(y3-3xy2-3x2y)dx+P(y)=xy3-[*]x2y2-x3y+φ(y)， 其中φ(y)为对y可微的待定函数．又由[*]=Q(x，y)得 3xy2-3x2y-x3+y2=[*]=3xy2-3x2y-x3+φ’(y)． 所以 φ’(y)=y2， 从而得φ(y)=[*]+C0，其中C0为任意常数，故得一个原函数(令C0=0) [*] 方法三 分项组合视察法．将原给方程通过视察分项组合． (y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y-x3+y2)dy =(y3dx+3xy2dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x2ydx+x3dy)+y2dy =0， 即[*]
解析
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考研数学一

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