求(y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0的通解．

admin2016-07-22 26

问题求(y³-3xy²-3x²y)dx+(3xy²-3x²y³-x³+y²)dy=0的通解．

选项

答案可以验知，这是全微分方程．按解全微分方程办法解之．记P(x，y)=y³-3xy²-3x²y，Q(x，y)=3xy²-3x²y-x³+y²，有 [*] 故知这是全微分方程．方法一按折线求曲线积分法，取点(x₀，y₀)使P(x，y)与Q(x，y)在此点连续即可．例如取(x₀，y₀)=(0，0)，有 [*] 方法二原函数法．先将y当作常量， u(x，y)=∫P(x，y)dx+φ(y)=∫(y³-3xy²-3x²y)dx+P(y)=xy³-[*]x²y²-x³y+φ(y)，其中φ(y)为对y可微的待定函数．又由[*]=Q(x，y)得 3xy²-3x²y-x³+y²=[*]=3xy²-3x²y-x³+φ’(y)．所以 φ’(y)=y²，从而得φ(y)=[*]+C₀，其中C₀为任意常数，故得一个原函数(令C₀=0) [*] 方法三分项组合视察法．将原给方程通过视察分项组合． (y³-3xy²-3x²y)dx+(3xy²-3x²y-x³+y²)dy =(y³dx+3xy²dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x²ydx+x³dy)+y²dy =0，即[*]

解析

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考研数学一

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