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求(y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0的通解．
求(y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0的通解．
admin
2016-07-22
28
问题
求(y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+(3xy
2
-3x
2
y
3
-x
3
+y
2
)dy=0的通解．
选项
答案
可以验知，这是全微分方程．按解全微分方程办法解之． 记P(x，y)=y
3
-3xy
2
-3x
2
y，Q(x，y)=3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
，有 [*] 故知这是全微分方程． 方法一 按折线求曲线积分法，取点(x
0
，y
0
)使P(x，y)与Q(x，y)在此点连续即可．例如取(x
0
，y
0
)=(0，0)，有 [*] 方法二 原函数法．先将y当作常量， u(x，y)=∫P(x，y)dx+φ(y)=∫(y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+P(y)=xy
3
-[*]x
2
y
2
-x
3
y+φ(y)， 其中φ(y)为对y可微的待定函数．又由[*]=Q(x，y)得 3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
=[*]=3xy
2
-3x
2
y-x
3
+φ’(y)． 所以 φ’(y)=y
2
， 从而得φ(y)=[*]+C
0
，其中C
0
为任意常数，故得一个原函数(令C
0
=0) [*] 方法三 分项组合视察法．将原给方程通过视察分项组合． (y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+(3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
)dy =(y
3
dx+3xy
2
dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x
2
ydx+x
3
dy)+y
2
dy =0， 即[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eqw4777K
0
考研数学一
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