求(y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0的通解.

admin2016-07-22  17

问题 求(y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0的通解.

选项

答案可以验知,这是全微分方程.按解全微分方程办法解之. 记P(x,y)=y3-3xy2-3x2y,Q(x,y)=3xy2-3x2y-x3+y2,有 [*] 故知这是全微分方程. 方法一 按折线求曲线积分法,取点(x0,y0)使P(x,y)与Q(x,y)在此点连续即可.例如取(x0,y0)=(0,0),有 [*] 方法二 原函数法.先将y当作常量, u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y)=∫(y3-3xy2-3x2y)dx+P(y)=xy3-[*]x2y2-x3y+φ(y), 其中φ(y)为对y可微的待定函数.又由[*]=Q(x,y)得 3xy2-3x2y-x3+y2=[*]=3xy2-3x2y-x3+φ’(y). 所以 φ’(y)=y2, 从而得φ(y)=[*]+C0,其中C0为任意常数,故得一个原函数(令C0=0) [*] 方法三 分项组合视察法.将原给方程通过视察分项组合. (y3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y-x3+y2)dy =(y3dx+3xy2dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x2ydx+x3dy)+y2dy =0, 即[*]

解析
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