n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

admin2019-05-15 28

问题 n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

选项 A、充分必要条件。
B、必要而非充分条件。
C、充分而非必要条件。
D、既非充分也非必要条件。

答案B

解析由A～B，即存在可逆矩阵P，使P^—1AP=B，故
｜λE—B｜=｜λE—P^—1AP｜=｜P^—1(λE—A)P｜=｜P^—1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜，即A与B有相同的特征值。
但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似。例如

虽然A，B有相同的特征值λ₁=λ₂=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似。
所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值，故选B。

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