n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

admin2019-05-15  20

问题 n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的(    )

选项 A、充分必要条件。
B、必要而非充分条件。
C、充分而非必要条件。
D、既非充分也非必要条件。

答案B

解析 由A~B,即存在可逆矩阵P,使P—1AP=B,故
|λE—B|=|λE—P—1AP|=|P—1(λE—A)P|=|P—1||λE—A||P|=|λE—A|,即A与B有相同的特征值。
但当A,B有相同特征值时,A与B不一定相似。例如

虽然A,B有相同的特征值λ12=0,但由于r(A)≠r(B),A,B不可能相似。
所以,相似的必要条件是A,B有相同的特征值,故选B。
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