设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=O,其中B= (1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形; (2)求矩阵A.

admin2017-09-15  49

问题 设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=O,其中B=
    (1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形;
    (2)求矩阵A.

选项

答案(1)由AB+B=O得(E+A)B=O,从而r(E+A)+r(B)≤3, 因为r(B)=2,所以r(E+A)≤1,从而λ=-1为A的特征值且不低于2重, 显然λ=-1不可能为三重特征值,则A的特征值为λ1=λ2=-1,λ3=5. 由(E+A)B=O得B的列组为(E+A)X=0的解, 故[*]为λ1=λ2=-1对应的线性无关解. 令α3=[*]为λ3=5对应的特征向量, 因为AT=A, [*] 令Q=(γ1,γ2,γ3),则f=XTAX[*]=-y12-y22+5y32. (2)由QTAQ=[*]

解析
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