设函数f(x)为[0，a]上连续的偶函数，在(0，a)内可导，f(0)＝0，∫0af(x)dx＝，证明：存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)＋2f(ξ)＝1＋2ξ．

admin2021-03-16 45

问题设函数f(x)为[0，a]上连续的偶函数，在(0，a)内可导，f(0)＝0，∫₀^af(x)dx＝

，
证明：存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)＋2f(ξ)＝1＋2ξ．

选项

答案由f(0)＝0，∫₀^af(x)dx＝[*]得∫₀^a[f(x)－x]dx＝0，令h(x)＝∫₀^x[f(t)－t]dt，因为h(0)＝h(a)＝0，所以存在c∈(0，a)，使得h’(c)＝0，即f(c)＝c．令[*](x)＝e^2x[f(x)－x]，因为[*](0)＝[*](0)＝0，所以存在ξ∈(0，c)[*](0，a)，使得[*](ξ)＝0，而[*](x)＝e^2x[f’(x)－1＋2f(x)－2x]且e^2x≠0，故f’(ξ)＋2f(ξ)＝1＋2ξ．

解析

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考研数学二

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