已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1)T+k1(1,0,2,1)T+k2(2,1,1,-1)T. 令C=(α1,α2,α3,α4,b),求Cx=b的通解.

admin2019-08-27  26

问题 已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1)T+k1(1,0,2,1)T+k2(2,1,1,-1)T
令C=(α1,α2,α3,α4,b),求Cx=b的通解.

选项

答案先求Cx=0的基础解系. 由于C即为线性方程组Ax=b的增广矩阵,故R(C)=R(A)=2,可知Cx=0的基础解系中含有5—2=3个线性无关的解向量,为此,需要找出Cx=0的三个线性无关的解. 由于(1,0,2,1)T,(2,1,1,-1)T均为Ax=0的解,可知(1,0,2,1,0)T,(2,1,1一1,0)T均为Cx=0的解.而(1,1,1,1)T为Ax=b的解,可知α1234=b,也即α1234-b=0,故(1,1,1,1,-1)T也为Cx=0的解. 这样,我们就找到了Cx=0的三个解:(1,0,2,1,0)T,(2,1,1,-1,0)T,(1,1,1,1,-1)T,容易验证它们是线性无关的,故它们即为Cx=0的基础解系. 最后,易知(O,0,0,0,1)T为Cx=b的解,故Cx=b的通解为(0,0,0,0,1)T+k1(1,0,2,1,0)T+k2(2,1,1,-1,0)T+k3(1,1,1,1,-1)T,ki∈R,i=1,2,3.

解析
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