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已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1)T+k1(1,0,2,1)T+k2(2,1,1,-1)T. 令C=(α1,α2,α3,α4,b),求Cx=b的通解.
已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1)T+k1(1,0,2,1)T+k2(2,1,1,-1)T. 令C=(α1,α2,α3,α4,b),求Cx=b的通解.
admin
2019-08-27
67
问题
已知A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1)
T
+k
1
(1,0,2,1)
T
+k
2
(2,1,1,-1)
T
.
令C=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,b),求Cx=b的通解.
选项
答案
先求Cx=0的基础解系. 由于C即为线性方程组Ax=b的增广矩阵,故R(C)=R(A)=2,可知Cx=0的基础解系中含有5—2=3个线性无关的解向量,为此,需要找出Cx=0的三个线性无关的解. 由于(1,0,2,1)
T
,(2,1,1,-1)
T
均为Ax=0的解,可知(1,0,2,1,0)
T
,(2,1,1一1,0)
T
均为Cx=0的解.而(1,1,1,1)
T
为Ax=b的解,可知α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=b,也即α
1
+α
2
+α
3
+α
4
-b=0,故(1,1,1,1,-1)
T
也为Cx=0的解. 这样,我们就找到了Cx=0的三个解:(1,0,2,1,0)
T
,(2,1,1,-1,0)
T
,(1,1,1,1,-1)
T
,容易验证它们是线性无关的,故它们即为Cx=0的基础解系. 最后,易知(O,0,0,0,1)
T
为Cx=b的解,故Cx=b的通解为(0,0,0,0,1)
T
+k
1
(1,0,2,1,0)
T
+k
2
(2,1,1,-1,0)
T
+k
3
(1,1,1,1,-1)
T
,k
i
∈R,i=1,2,3.
解析
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考研数学二
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