设fn(x)=Cn1cosx—Cn2cos2x+…+(一1)n-1Cnncosnx，证明：对任意自然数n，方程在区间内有且仅有一个根．

admin2019-06-28 72

问题设f_n(x)=C_n¹cosx—C_n²cos²x+…+(一1)^n-1C_nⁿcosⁿx，证明：对任意自然数n，方程

在区间

内有且仅有一个根．

选项

答案由f_n(x)=C_n¹cosx—C_n²cos²x+…+(一1)^n-1C_nⁿcosⁿx得 f_n(x)=1一(1一cosx)ⁿ， [*] 因为g’(x)=一n(1一cosx)^n-1．sinx＜0[*] 所以g(x)在[*]内有唯一的零点，从而方程[*]内有唯一根．

解析

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