设奇函数f(x)在[一1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’（ξ）=1； (Ⅱ)存在η∈(一1，1)，使得f"(17)+f’(η)=1．

admin2017-04-24 29

问题设奇函数f(x)在[一1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’（ξ）=1；
(Ⅱ)存在η∈(一1，1)，使得f"(17)+f’(η)=1．

选项

答案(Ⅰ)因为f(x)是区间[一1，1]上的奇函数，所以f(0)=0．因为函数f(x)在区间[0，1]上可导，根据微分中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得 f(1)一 f(0)=f’(ξ) 又因为f(1)=1，所以f’(ξ)=1． (Ⅱ)因为f(x)是奇函数，所以f’(x)是偶函数，故f’(一ξ)=f’(ξ)=1．令F(x)=[f’(x)一1]e^x，则F(x)可导，且F(一ξ)=F(ξ)=0．根据罗尔定理，存在η∈(一ξ，ξ)[*](一1，1)，使得F’(η)=0．由F’(η) =[f"(η)+f’(η)一1]e^η且e^η≠0，得f"(η)+f’(η)=1．

解析

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考研数学二

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设奇函数f(x)在[一1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’（ξ）=1； (Ⅱ)存在η∈(一1，1)，使得f"(17)+f’(η)=1．

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