(2009年试题,三(22))设(I)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3;(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.

admin2013-12-18  34

问题 (2009年试题,三(22))设(I)求满足Aξ21,A2ξ31的所有向量ξ2,ξ3;(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.

选项

答案(I)因为[*]所以r(A)=2,故方程组Aξ31有一个自由变量.令x3=2,由Ax=0可解得x2=一1,x1=1.求特解:令x1=x2=0.得x3=1.故有[*]其中k1为任意常数又[*].则r(A2)=1.故方程组A2ξ31有两个自由变量.令x2=一1,由A2x=0得x=1,x3=0;令x2=0,则有x1=0,x3=1.求特解:令x2=x3=0,得[*].故最终得到[*]其中k2,k3为任意常数(Ⅱ)证明:由(I)可得[*]又ξ1=(一1,1,一2)T,则[*]故可知ξ1,ξ2,ξ3线性无关,命题得证.

解析
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