2. 考研
  3. (2009年试题，三(22))设(I)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

(2009年试题，三(22))设(I)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

admin2013-12-18  59
问题 (2009年试题，三(22))设(I)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
选项
答案(I)因为[*]所以r(A)=2,故方程组Aξ3=ξ1有一个自由变量．令x3=2，由Ax=0可解得x2=一1，x1=1．求特解：令x1=x2=0．得x3=1．故有[*]其中k1为任意常数又[*]．则r(A2)=1．故方程组A2ξ3=ξ1有两个自由变量．令x2=一1，由A2x=0得x=1，x3=0；令x2=0，则有x1=0，x3=1．求特解：令x2=x3=0，得[*]．故最终得到[*]其中k2，k3为任意常数(Ⅱ)证明：由(I)可得[*]又ξ1=(一1，1，一2)T，则[*]故可知ξ1，ξ2，ξ3线性无关，命题得证．
解析
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考研数学二

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