设二次型f(x1,x2)=ax12+bx22+4x1x2经过正交变换x=Qy化为g(y1,y2)=2y12+2y1y2二次型f与g的矩阵分别为A与B 求正交矩阵Q

admin2022-06-09  32

问题 设二次型f(x1,x2)=ax12+bx22+4x1x2经过正交变换x=Qy化为g(y1,y2)=2y12+2y1y2二次型f与g的矩阵分别为A与B
求正交矩阵Q

选项

答案由(I),知A=[*],由|λE-A|=0,得A的特征值为λ1=3,λ2=-1 由A~B,知B的特征值也为μ1=3,μ2=-1 由(3E-A)x=0,得特征向量α1=(1,1)T 由(-E-A)x=0,得特征向量α2=(1,-1)T 单位化,得 γ1=[*](1,1)T,γ2=[*](1,-1)T 同理可求得B对直于μ1=3,μ2=-1的特征向量分别为 β1=([*],1)T,β2=(1,[*])T 单位化,得 η1=1/2([*],1)T,η2=1/2(1,[*])T 令Q1=(γ1,γ2),则Q11AQ1=diag(3,-1),令Q2=(η1,η2),则Q2-1BQ2=diag(3,-1) 故Q11AQ1=Q21BQ2,即 (Q1Q2-1)-1A(Q1Q2-1)=B 于是所求正交矩阵Q为 Q=Q1Q1-1=[*]

解析
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