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设二次型f(x1,x2)=ax12+bx22+4x1x2经过正交变换x=Qy化为g(y1,y2)=2y12+2y1y2二次型f与g的矩阵分别为A与B 求正交矩阵Q
设二次型f(x1,x2)=ax12+bx22+4x1x2经过正交变换x=Qy化为g(y1,y2)=2y12+2y1y2二次型f与g的矩阵分别为A与B 求正交矩阵Q
admin
2022-06-09
74
问题
设二次型f(x
1
,x
2
)=ax
1
2
+bx
2
2
+4x
1
x
2
经过正交变换x=Qy化为g(y
1
,y
2
)=2y
1
2
+2
y
1
y
2
二次型f与g的矩阵分别为A与B
求正交矩阵Q
选项
答案
由(I),知A=[*],由|λE-A|=0,得A的特征值为λ
1
=3,λ
2
=-1 由A~B,知B的特征值也为μ
1
=3,μ
2
=-1 由(3E-A)x=0,得特征向量α
1
=(1,1)
T
由(-E-A)x=0,得特征向量α
2
=(1,-1)
T
单位化,得 γ
1
=[*](1,1)
T
,γ
2
=[*](1,-1)
T
同理可求得B对直于μ
1
=3,μ
2
=-1的特征向量分别为 β
1
=([*],1)
T
,β
2
=(1,[*])
T
单位化,得 η
1
=1/2([*],1)
T
,η
2
=1/2(1,[*])
T
令Q
1
=(γ
1
,γ
2
),则Q
1
1
AQ
1
=diag(3,-1),令Q
2
=(η
1
,η
2
),则Q
2
-1
BQ
2
=diag(3,-1) 故Q
1
1
AQ
1
=Q
2
1
BQ
2
,即 (Q
1
Q
2
-1
)
-1
A(Q
1
Q
2
-1
)=B 于是所求正交矩阵Q为 Q=Q
1
Q
1
-1
=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/f9f4777K
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考研数学二
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