设二次型f(x1，x2)＝ax12＋bx22＋4x1x2经过正交变换x＝Qy化为g(y1，y2)＝2y12＋2y1y2二次型f与g的矩阵分别为A与B 求正交矩阵Q

admin2022-06-09 51

问题设二次型f(x₁，x₂)＝ax₁²＋bx₂²＋4x₁x₂经过正交变换x＝Qy化为g(y₁，y₂)＝2y₁²＋2

y₁y₂二次型f与g的矩阵分别为A与B
求正交矩阵Q

选项

答案由(I)，知A＝[*]，由｜λE－A｜＝0，得A的特征值为λ₁＝3，λ₂＝－1 由A～B，知B的特征值也为μ₁＝3，μ₂＝－1 由(3E－A)x＝0，得特征向量α₁＝(1，1)^T 由(－E－A)x＝0，得特征向量α₂＝(1，－1)^T 单位化，得 γ₁＝[*](1，1)^T，γ₂＝[*](1，－1)^T 同理可求得B对直于μ₁＝3，μ₂＝－1的特征向量分别为 β₁＝([*]，1)^T，β₂＝(1，[*])^T 单位化，得 η₁＝1/2([*]，1)^T，η₂＝1/2(1，[*])^T 令Q₁＝(γ₁，γ₂)，则Q₁¹AQ₁＝diag(3，－1)，令Q₂＝(η₁，η₂)，则Q₂^－1BQ₂＝diag(3，－1) 故Q₁¹AQ₁＝Q₂¹BQ₂，即 (Q₁Q₂^－1)^－1A(Q₁Q₂^－1)＝B 于是所求正交矩阵Q为 Q＝Q₁Q₁^-1＝[*]

解析

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考研数学二

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设二次型f(x1，x2)＝ax12＋bx22＋4x1x2经过正交变换x＝Qy化为g(y1，y2)＝2y12＋2y1y2二次型f与g的矩阵分别为A与B 求正交矩阵Q

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