设曲线＝1(0＜a＜4)与χ轴、y轴所围成的图形绕χ轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)＋V2(a)最大，并求最大值．

admin2020-03-16 105

问题设曲线

＝1(0＜a＜4)与χ轴、y轴所围成的图形绕χ轴旋转所得立体体积为V₁(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V₂(a)，问a为何值时，V₁(a)＋V₂(a)最大，并求最大值．

选项

答案曲线与χ轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b＝4－a．曲线可化为y＝[*]，对任意的[χ，χ＋dχ][*][0，a]，dV₂＝2πχ.ydχ＝2πχ.[*]dχ，于是V₂＝[*]，根据对称性，有V₁＝[*]ab²．于是V(a)＝V₁(a)＋V₂(a)＝[*]a(4－a) 令V′(a)＝[*](4－2a)＝0[*]a＝2，又V〞(2)＜0，所以a＝2时，两体积之和最大，且最大值为V(2)＝[*]π．

解析

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考研数学二

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设曲线＝1(0＜a＜4)与χ轴、y轴所围成的图形绕χ轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)＋V2(a)最大，并求最大值．

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证明：

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