设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ2是A2的特征值，X为特征向量．若A2有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．

admin2020-03-16 70

问题设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ²是A²的特征值，X为特征向量．若A²有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．

选项

答案由AX=λ得A²X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ²X可知λ²是A²的特征值，X为特征向量．若A²X=λX，其中A=[*]，A²=O，A²的特征值为λ=0，取X=[*]，显然A²X=0X，但AX=[*]，即X不是A的特征向量，因此结论未必成立．

解析

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