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已知(X,Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求常数A;(X,Y)的联合分布函数F(χ,y),并问X与Y是否独立?为什么? (Ⅱ)求条件概率密度fX|Y(χ|y),fY|X(y|χ)及条件概率P{X+Y>1|X<}; (Ⅲ)记Z1=Y-X,
已知(X,Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求常数A;(X,Y)的联合分布函数F(χ,y),并问X与Y是否独立?为什么? (Ⅱ)求条件概率密度fX|Y(χ|y),fY|X(y|χ)及条件概率P{X+Y>1|X<}; (Ⅲ)记Z1=Y-X,
admin
2018-06-12
69
问题
已知(X,Y)的联合密度函数
(Ⅰ)求常数A;(X,Y)的联合分布函数F(χ,y),并问X与Y是否独立?为什么?
(Ⅱ)求条件概率密度f
X|Y
(χ|y),f
Y|X
(y|χ)及条件概率P{X+Y>1|X<
};
(Ⅲ)记Z
1
=Y-X,求证Z
1
服从参数λ=1的指数分布,并计算Z
2
=X+Y的概率密度.
选项
答案
(Ⅰ)因为1=∫
-∞
+∞
∫
-∞
+∞
f(χ,y)dχdy=∫
0
+∞
dχ∫
χ
+∞
Ae
-χ
e
-y
dy=A∫
0
+∞
e
-χ
dχ= [*],所以A=2. F(χ,y)=P{X≤χ,Y≤y}=∫
-∞
χ
∫
-∞
y
f(u,v)dudv, 当χ≤0或y≤0时,F(χ,y)=0; 当0<y≤χ时, F(χ,y)=∫
0
y
du∫
u
y
2e
-u
e
-v
dv=2∫
0
y
(e
-2u
e
-y
e
-u
)du =(-e
-2u
+2e
-y
e
-u
)|
0
y
=1-2e
-y
+e
-2y
, 当0<χ<Y时, F(χ,y)=∫
0
χ
du∫
u
y
2e
-u
e
-v
dv=2∫
0
χ
(e
-2u
-e
-y
e
-u
)du =(-e
-2u
+2e
-y
e
-u
)|
0
χ
=1-2e
-y
-e
-2χ
+2e
-(χ+y)
. 综上得, [*] 因为F
X
(χ).F
Y
(y)≠F(χ,y),所以X与Y不独立. [*] (Ⅱ)由于X的概率密度 [*] Y的概率密度 [*] (Ⅲ)①通过求Z
1
=Y-X的分布函数(或概率密度)来证明Z
1
服从参数λ=1的指数分布. Z
1
=Y-X的分布函数F
1
(z)=P{Y-X≤z}=[*]f(χ,y)dχdy, 当z≤0时,F
1
(z)=0;当z>0时, F
1
(z)=∫
0
+∞
dχ∫
χ
χ+z
2e
-χ
e
-y
dy=2∫
0
+∞
e
-χ
(e
-χ
-e
-χ
e
-z
)dχ =(1-e
-z
)2∫
0
+∞
e
-2χ
dχ=1-e
-z
. 综上得[*] 所以Z
1
=Y-X服从参数λ=1的指数分布. [*] ②若(X,Y)~f(χ,y),则Z
2
=X+Y,的概率密度 f
2
(z)=∫
-∞
+∞
f(χ,z-χ)dχ=∫
-∞
+∞
f(z-y,y)dy, 其中f(z-y,y)=[*], 即0<y<z<2),, 所以当z≤0时f
2
(z)=0;当z>0时 f
2
(z)=[*]2e
-z
dy=ze
-z
. 综上得f
2
(z)=[*]
解析
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0
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