证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U，使A＝UTU，即A与单位阵E合同．

admin2016-05-09 49

问题证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U，使A＝U^TU，即A与单位阵E合同．

选项

答案必要性：因为对称阵A为正定的，所以存在正交矩阵P使P^TAP＝diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)＝∧，即A＝P∧P_T，其中λ₁，λ₂，…，λ_n为A的全部特征值，A是正定矩阵，λ₁，λ₂，…，λ_n均为正数．令∧₁diag[*]，则∧＝∧₁∧₁，∧＝P∧₁∧₁^TP^T．再令U＝∧₁^TP^T，则U可逆，且A＝U^TU故A与单位矩阵合同．充分性：若存在可逆矩阵U，使A＝U^TU，则对任意的χ∈Rⁿ且χ≠0，有‖Uχ‖＞0，即 f(χ)＝χ^TAχ＝χ^TU^TUχ＝‖Uχ‖²＞0，矩阵A是正定矩阵．

解析

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考研数学一

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