(90年)设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，χ1，χ2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：χ1＋χ2不是A的特征向量．

admin2017-05-26 120

问题 (90年)设λ₁，λ₂是n阶方阵A的两个不同特征值，χ₁，χ₂分别是属于λ₁，λ₂的特征向量．证明：χ₁＋χ₂不是A的特征向量．

选项

答案用反证法．设χ₁＋χ₂为方阵A的属于特征值λ₀．的特征向量，则有 A(χ₁＋χ₂)＝λ₀(χ₁＋χ₂) 或Aχ₁＋Aχ₂＝λ₀χ₁＋λ₀χ₂ 由已知，有Aχ_i＝λ_iχ₂(i＝1，2)，于是有 λ₁χ₁＋λ₂χ_i＝λ₀χ₁＋λ₀χ_χ 即(λ₁－λ₀)χ₁＋(λ₂－λ₀)χ₂＝0 因为χ₁、χ₂分别是属于不同特征值的特征向量，故χ₁与χ₂线性无关，因此由上式得 λ₁－λ₀＝0，λ₂－λ₀＝0 于是得λ₁＝λ₀＝λ₂，这与λ₁≠λ₂矛盾．所以χ₁＋χ₂不是A的特征向量．

解析

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考研数学三

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(90年)设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，χ1，χ2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：χ1＋χ2不是A的特征向量．

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