2. 考研
  3. (90年)设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，χ1，χ2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：χ1＋χ2不是A的特征向量．

(90年)设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，χ1，χ2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：χ1＋χ2不是A的特征向量．

admin2017-05-26  100
问题 (90年)设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，χ1，χ2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：χ1＋χ2不是A的特征向量．
选项
答案用反证法．设χ1＋χ2为方阵A的属于特征值λ0．的特征向量，则有 A(χ1＋χ2)＝λ0(χ1＋χ2) 或Aχ1＋Aχ2＝λ0χ1＋λ0χ2 由已知，有Aχi＝λiχ2(i＝1，2)，于是有 λ1χ1＋λ2χi＝λ0χ1＋λ0χχ 即(λ1－λ0)χ1＋(λ2－λ0)χ2＝0 因为χ1、χ2分别是属于不同特征值的特征向量，故χ1与χ2线性无关，因此由上式得 λ1－λ0＝0，λ2－λ0＝0 于是得λ1＝λ0＝λ2，这与λ1≠λ2矛盾．所以χ1＋χ2不是A的特征向量．
解析
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考研数学三

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