(90年)设λ1,λ2是n阶方阵A的两个不同特征值,χ1,χ2分别是属于λ1,λ2的特征向量.证明:χ1+χ2不是A的特征向量.

admin2017-05-26  81

问题 (90年)设λ1,λ2是n阶方阵A的两个不同特征值,χ1,χ2分别是属于λ1,λ2的特征向量.证明:χ1+χ2不是A的特征向量.

选项

答案用反证法.设χ1+χ2为方阵A的属于特征值λ0.的特征向量,则有 A(χ1+χ2)=λ01+χ2) 或Aχ1+Aχ2=λ0χ1+λ0χ2 由已知,有Aχi=λiχ2(i=1,2),于是有 λ1χ1+λ2χi=λ0χ1+λ0χχ 即(λ1-λ01+(λ2-λ02=0 因为χ1、χ2分别是属于不同特征值的特征向量,故χ1与χ2线性无关,因此由上式得 λ1-λ0=0,λ2-λ0=0 于是得λ1=λ0=λ2,这与λ1≠λ2矛盾.所以χ1+χ2不是A的特征向量.

解析
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