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(90年)设λ1,λ2是n阶方阵A的两个不同特征值,χ1,χ2分别是属于λ1,λ2的特征向量.证明:χ1+χ2不是A的特征向量.
(90年)设λ1,λ2是n阶方阵A的两个不同特征值,χ1,χ2分别是属于λ1,λ2的特征向量.证明:χ1+χ2不是A的特征向量.
admin
2017-05-26
81
问题
(90年)设λ
1
,λ
2
是n阶方阵A的两个不同特征值,χ
1
,χ
2
分别是属于λ
1
,λ
2
的特征向量.证明:χ
1
+χ
2
不是A的特征向量.
选项
答案
用反证法.设χ
1
+χ
2
为方阵A的属于特征值λ
0
.的特征向量,则有 A(χ
1
+χ
2
)=λ
0
(χ
1
+χ
2
) 或Aχ
1
+Aχ
2
=λ
0
χ
1
+λ
0
χ
2
由已知,有Aχ
i
=λ
i
χ
2
(i=1,2),于是有 λ
1
χ
1
+λ
2
χ
i
=λ
0
χ
1
+λ
0
χ
χ
即(λ
1
-λ
0
)χ
1
+(λ
2
-λ
0
)χ
2
=0 因为χ
1
、χ
2
分别是属于不同特征值的特征向量,故χ
1
与χ
2
线性无关,因此由上式得 λ
1
-λ
0
=0,λ
2
-λ
0
=0 于是得λ
1
=λ
0
=λ
2
,这与λ
1
≠λ
2
矛盾.所以χ
1
+χ
2
不是A的特征向量.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fRH4777K
0
考研数学三
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