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  3. 设A、B均为n阶方阵，满足A2=A，B2=B，(A-B)2=A+B，证明：AB=BA=0。

设A、B均为n阶方阵，满足A2=A，B2=B，(A-B)2=A+B，证明：AB=BA=0。

admin2018-01-26  19
问题 设A、B均为n阶方阵，满足A2=A，B2=B，(A-B)2=A+B，证明：AB=BA=0。
选项
答案因为(A-B)2=A2-AB-BA+B2=A+B-(AB+BA)，所以 AB+BA=0， (*) 用A左乘(*)式得A2B+ABA=0，即有AB=-ABA，用A右乘(*)式得ABA+BA2=0，则有BA=-ABA。 故有AB=BA=0。
解析
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考研数学一

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