[20l0年] 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1/3.证明:存在ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1),使得f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2.

admin2019-04-05  47

问题 [20l0年]  设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1/3.证明:存在ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1),使得f′(ξ)+f′(η)=ξ22

选项

答案 将待证等式改写为f′(ξ)一ξ22一f′(η),从而想到构造辅助函数F(x)=f(x)一x3/3,分别在区间[0,1/2],[1/2,1]上使用拉格朗日中值定理. 证 令F(x)=f(x)一x3/3,则F(0)=F(1)=0.对F(x)在[0,l/2]上使用拉格朗日中值定理得到:存在ξ∈(0,1/2),使 [*]=F′(ξ)=f′(ξ)一ξ2. ① 又在[1/2,1]上对F(x)用拉格朗日中值定理得到:存在η∈(1/2,1),使 [*]=F′(η)一f′(η)一η2, ② 由式①+式②得到[*]=f(ξ)一ξ2+f′(η)一η2,即 [*]=0=f′(ξ)一ξ2+f′(η)一η2, 故 f′(ξ)+f′(η)=ξ22

解析
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