已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

admin2021-02-25 59

问题已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．
证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

选项

答案设ξ₁，ξ₂，ξ₃是该方程组的3个线性无关的解，则ξ₁-ξ₂，ξ₁-ξ₃是对应齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，因而4-r(A)≥2，即r(A)≤2．又A有一个二阶子式[*]，于是r(A)≥2，因此r(A)=2．

解析本题考查含参数非齐次线性方程组的求解问题．要求考生掌握向量组线性相关性的定义和证明；齐次线性方程组基础解系的概念；未知数的个数(n)-系数矩阵的秩r(A)=基础解系解向量的个数．

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