2. 考研
  3. 设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4)，方程组Ax=β的通解为(1，2,2，1)T+c(1，一2，4，0)T，c任意．记B=(α3，α2，α1，β一α4)．求方程组Bx=α1一α2的通解

设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4)，方程组Ax=β的通解为(1，2,2，1)T+c(1，一2，4，0)T，c任意．记B=(α3，α2，α1，β一α4)．求方程组Bx=α1一α2的通解

admin2019-07-28  95
问题 设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4)，方程组Ax=β的通解为(1，2,2，1)T+c(1，一2，4，0)T，c任意．记B=(α3，α2，α1，β一α4)．求方程组Bx=α1一α2的通解
选项
答案首先从Ax=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，一2，4，0)T可得到下列信息： ① Ax=0的基础解系包含1个解，即4一r(A)=1，得r(A)=3．即r(α1,α2,α3,α4)=3． ② (1，2，2，1)T是Ax=β解，即α1+2α2+2α3+α4=β． ③ (1，一2，4，0)T是Ax=0解，即α1一2α2+4α3=0．α1，α2，α3线性相关，r(α1,α2,α3)=2． 显然B(0，一1，1，0)T=α1一α2，即(0，一1，1，0)T是Bx=α1一α2的一个解． 由②，B=(α3，α2，α1，β一α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)，于是 r(B)=r(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=r(α1，α2，α3)=2． 则Bx=0的基础解系包含解的个数为4一r(B)=2个．α1一2α2+4α3=0说明(4，一2，1，0)T是Bx=0的解；又从B=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)容易得到B(一2，一2，一1，1)T=0，说明(一2，一2，一1，1)T也是Bx=0的解．于是(4，一2，1，0)T和(一2，一2，一1，1)T构成 Bc=0的基础解系． Bx=α1一α2的通解为： (0，一1，1，0)T+c1(4，一2，1，0)T+c2(一2，一2，一1，1)T，c1，c2任意．
解析
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考研数学二

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