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设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,一2,4,0)T,c任意.记B=(α3,α2,α1,β一α4).求方程组Bx=α1一α2的通解
设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,一2,4,0)T,c任意.记B=(α3,α2,α1,β一α4).求方程组Bx=α1一α2的通解
admin
2019-07-28
54
问题
设4阶矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)
T
+c(1,一2,4,0)
T
,c任意.记B=(α
3
,α
2
,α
1
,β一α
4
).求方程组Bx=α
1
一α
2
的通解
选项
答案
首先从Ax=β的通解为(1,2,2,1)
T
+c(1,一2,4,0)
T
可得到下列信息: ① Ax=0的基础解系包含1个解,即4一r(A)=1,得r(A)=3.即r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3. ② (1,2,2,1)
T
是Ax=β解,即α
1
+2α
2
+2α
3
+α
4
=β. ③ (1,一2,4,0)
T
是Ax=0解,即α
1
一2α
2
+4α
3
=0.α
1
,α
2
,α
3
线性相关,r(α
1
,α
2
,α
3
)=2. 显然B(0,一1,1,0)
T
=α
1
一α
2
,即(0,一1,1,0)
T
是Bx=α
1
一α
2
的一个解. 由②,B=(α
3
,α
2
,α
1
,β一α
4
)=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
),于是 r(B)=r(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=2. 则Bx=0的基础解系包含解的个数为4一r(B)=2个.α
1
一2α
2
+4α
3
=0说明(4,一2,1,0)
T
是Bx=0的解;又从B=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
)容易得到B(一2,一2,一1,1)
T
=0,说明(一2,一2,一1,1)
T
也是Bx=0的解.于是(4,一2,1,0)
T
和(一2,一2,一1,1)
T
构成 Bc=0的基础解系. Bx=α
1
一α
2
的通解为: (0,一1,1,0)
T
+c
1
(4,一2,1,0)
T
+c
2
(一2,一2,一1,1)
T
,c
1
,c
2
任意.
解析
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考研数学二
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