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  3. (数学一)已知二次型f(x，y，z)＝3x2＋2y2＋2z2＋2xy＋2zx．(1)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵；(2)求函数f(x，y，z)在单位球面x2＋y2＋z2＝1上的最大值和最小值．

(数学一)已知二次型f(x，y，z)＝3x2＋2y2＋2z2＋2xy＋2zx．(1)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵；(2)求函数f(x，y，z)在单位球面x2＋y2＋z2＝1上的最大值和最小值．

admin2020-06-05  29
问题 (数学一)已知二次型f(x，y，z)＝3x2＋2y2＋2z2＋2xy＋2zx．(1)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵；(2)求函数f(x，y，z)在单位球面x2＋y2＋z2＝1上的最大值和最小值．
选项
答案(1)二次型f所对应矩阵的特征多项式为 ｜A－AE｜[*] 所以A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝4． 当λ1＝1时，解方程组(A－E)x＝0．由 A－E＝[*] 解得基础解系为p1＝(﹣1，1，1)T，将其单位化得q1＝[*] 当λ2＝2时，解方程组(A－2E)x＝0．由 A－2E＝[*] 得基础解系为p1＝(0，﹣1，1)T，将其单位化得q2＝[*] 当λ3＝4时，解方程组(A－4E)x＝0．由 A－4E[*] 得基础解系为p3＝(2，1，1)T，将其单位化得q3＝[*]．于是正交变换为 [*]或X’＝PX 且把二次型f(x，y，z)化为x’2＋2y’2＋4z’2，其中X’＝(x’，y’，z’)，X＝(z，y，z)． (2)注意到 z2＋y2＋z2＝XTX＝XTPPTX＝(PTX)T(PTX)＝X’TX＝x’2＋y’2＋z’2 f(x，y，z)＝zTAx＝xTP[*]PTx＝(PTx)T[*](PTx)＝(x’)T[*](x’)＝x’2＋2y’2＋4z’2 这说明方程x2＋y2＋z2＝1在正交变换下X’＝PX化为方程x’2＋y’2＋z’2＝1．函数f(x，y，z) 在单位球面x2＋y2＋z2＝1上的最大值和最小值，也就是函数x’2＋2y’2＋4z’2在x’2＋y’2＋z’2＝1上的最大值和最小值． 从而 [*]
解析
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考研数学一

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