(数学一)已知二次型f(x,y,z)=3x2+2y2+2z2+2xy+2zx.(1)用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵;(2)求函数f(x,y,z)在单位球面x2+y2+z2=1上的最大值和最小值.

admin2020-06-05  35

问题 (数学一)已知二次型f(x,y,z)=3x2+2y2+2z2+2xy+2zx.(1)用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵;(2)求函数f(x,y,z)在单位球面x2+y2+z2=1上的最大值和最小值.

选项

答案(1)二次型f所对应矩阵的特征多项式为 |A-AE|[*] 所以A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=4. 当λ1=1时,解方程组(A-E)x=0.由 A-E=[*] 解得基础解系为p1=(﹣1,1,1)T,将其单位化得q1=[*] 当λ2=2时,解方程组(A-2E)x=0.由 A-2E=[*] 得基础解系为p1=(0,﹣1,1)T,将其单位化得q2=[*] 当λ3=4时,解方程组(A-4E)x=0.由 A-4E[*] 得基础解系为p3=(2,1,1)T,将其单位化得q3=[*].于是正交变换为 [*]或X’=PX 且把二次型f(x,y,z)化为x’2+2y’2+4z’2,其中X’=(x’,y’,z’),X=(z,y,z). (2)注意到 z2+y2+z2=XTX=XTPPTX=(PTX)T(PTX)=X’TX=x’2+y’2+z’2 f(x,y,z)=zTAx=xTP[*]PTx=(PTx)T[*](PTx)=(x’)T[*](x’)=x’2+2y’2+4z’2 这说明方程x2+y2+z2=1在正交变换下X’=PX化为方程x’2+y’2+z’2=1.函数f(x,y,z) 在单位球面x2+y2+z2=1上的最大值和最小值,也就是函数x’2+2y’2+4z’2在x’2+y’2+z’2=1上的最大值和最小值. 从而 [*]

解析
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