设f(x)在[a,b]上连续可导,证明: ∫abf(x)dx|+∫ab|f′(x)|dx.

admin2021-12-14  4

问题 设f(x)在[a,b]上连续可导,证明:
abf(x)dx|+∫ab|f′(x)|dx.

选项

答案因为f(x)在[a,b]上连续。所以|f(x)|在[a,b]上连续,令|f(c)|=[*] 根据积分中值定理,1/(b-a)∫abf(x)dx=f(ξ),其中ξ∈[a,b]. 由积分基本定理,f(c)=f(ξ)+∫ξcf′(x)dx,取绝对值得 |f(c)|≤|f(x)|+|∫0xf′(x)dx|≤|f(x)|+∫0x|f′(x)|dx,即 [*]∫abf(x)dx|+∫ab|f′(x)|dx.

解析
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