(Ⅰ)设随机变量X服从指数分布e(λ)，证明：对任意非负实数s及t，有P(X≥s+t|x≥s)=P(X≥t)．这个性质叫做指数分布的无记忆性． (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从指数分布e(0．1)，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上的概率．

admin2016-03-21 26

问题 (Ⅰ)设随机变量X服从指数分布e(λ)，证明：对任意非负实数s及t，有P(X≥s+t|x≥s)=P(X≥t)．这个性质叫做指数分布的无记忆性．
(Ⅱ)设电视机的使用年数X服从指数分布e(0．1)，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上的概率．

选项

答案(Ⅰ)已知随机变量X服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F(x)[*] 因为X是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数x，有 P(X＜x)=P(X≤x)=F(x)． P(X≥t)=1—P(X＜t)=1一P(X≤t) =1一F(t)=1一(1一e^一λt)=e^一λt，因此可得P(X≥s+t|X≥s)=P(X≥t)成立． (Ⅱ)已知电子仪器的使用年数服从指数分布X～e(0．1)，则其概率分布函数为 [*] 根据(Ⅰ)的结论，P(X≥s+t|X≥s)=P(X≥t)=e^一λt，假设某人买回来的电视机已经用了x年，则它还可以使用五年以上的概率为 P(X≥x+5|X≥5)=P(X≥5)=e^一0．1×5=e^一0．5≈0．6065．

解析

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考研数学一

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(Ⅰ)设随机变量X服从指数分布e(λ)，证明：对任意非负实数s及t，有P(X≥s+t|x≥s)=P(X≥t)．这个性质叫做指数分布的无记忆性． (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从指数分布e(0．1)，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上的概率．

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