(2001年试题，九)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时?

admin2021-01-19 62

问题 (2001年试题，九)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的

，问雪堆全部融化需要多少小时?

选项

答案以半径r为未知函数，雪堆在时刻t的体积[*]，侧面积s=2πr²，由题设知[*]化简上式即可得到以r为未知函数的微分方程[*]解之得r=一kt+C，由初始条件r｜_t=0=r₀，可得出C=r₀，所以r=r₀一kt又由已知[*]从而[*]可求出=[*]，因此r=r₀一[*]，雪堆全部融化时r=0，从而[*]，得t=6，即全部融化需6小时．解析二以雪堆体积V为未知函数，在时刻[*]，侧面积-S=2πr²，即S=[*]，由题设，[*]此即以V，为未知函数的微分方程，分离变量得[*]两边积分得[*]由已知，当t=0时，[*]；当t=3时，[*]代入上式分别得到[*]联立此二式可解出[*]从而有[*]令V=0，则t=6，即雪堆全部融化需6小时．

解析本题为实际问题，可通过建立数学模型转化为数学问题来解决，但要注意速度为失量，把“体积融化的速率与半球面面积S成正比”理解为

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考研数学二

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考研数学二

(1)求函数f(x)=的表达式，x≥0；(2)讨论函数f(x)的连续性．

求分别满足下列关系式的f(x)．1)f(x)=∫0xf(t)dt，其中f(x)为连续函数；2)f’(x)+xf’(一x)=x．

设曲线y=ax2(a≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D．求a的值，使V(a)为最大．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；(2)求A的特征值与特征向量．

设求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及y轴围成图形的面积．

求在χ＝1时有极大值6，在χ＝3时有极小值2的三次多项式．

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。证明当x≥0时，成立不等式e—x≤f(x)≤1。

A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．

不计算积分，比较下列各组积分值的大小：

设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

哑铃飞鸟主要发展的部位是胸大肌。()

患者男，57岁，十二指肠球部溃疡多年，近2月来，食后上腹胀满，呕吐宿食。体格检查：消瘦，脱水征，上腹稍膨隆，偶见胃型，有振水声，治疗首先选择()

下列选项符合TN—C—S系统规范要求的是()。

下列荷载中，属于按荷载作用面大小分类的有()。

下列关于“居间人”的相关表述中，正确的是(　　)。

某A股股票(非ST)T一1日的收盘价为12．38元，则T日开盘价()。

按照在购买决策过程中的作用不同，消费者的角色可分为()。

agreementonozonedepletion

某系统中有3个并发进程竞争资源R，每个进程都需要5个R，那么至少有()个R，才能保证系统不会发生死锁。

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设曲线y=ax2(a≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D．求a的值，使V(a)为最大．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；(2)求A的特征值与特征向量．

设求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及y轴围成图形的面积．

求在χ＝1时有极大值6，在χ＝3时有极小值2的三次多项式．

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。证明当x≥0时，成立不等式e—x≤f(x)≤1。

A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．

不计算积分，比较下列各组积分值的大小：

设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

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下列选项符合TN—C—S系统规范要求的是()。

下列荷载中，属于按荷载作用面大小分类的有()。

下列关于“居间人”的相关表述中，正确的是( )。

某A股股票(非ST)T一1日的收盘价为12．38元，则T日开盘价()。

按照在购买决策过程中的作用不同，消费者的角色可分为()。

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某系统中有3个并发进程竞争资源R，每个进程都需要5个R，那么至少有()个R，才能保证系统不会发生死锁。

下列关于“居间人”的相关表述中，正确的是(　　)。