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(2001年试题,九)一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的,问雪堆全部融化需要多少小时?
(2001年试题,九)一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的,问雪堆全部融化需要多少小时?
admin
2021-01-19
66
问题
(2001年试题,九)一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r
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的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的
,问雪堆全部融化需要多少小时?
选项
答案
以半径r为未知函数,雪堆在时刻t的体积[*],侧面积s=2πr
2
, 由题设知[*]化简上式即可得到以r为未知函数的微分方程[*]解之得r=一kt+C,由初始条件r|
t=0
=r
0
, 可得出C=r
0
,所以r=r
0
一kt又由已知[*]从而[*]可求出=[*],因此r=r
0
一[*],雪堆全部融化时r=0, 从而[*],得t=6, 即全部融化需6小时.解析二以雪堆体积V为未知函数,在时刻[*],侧面积-S=2πr
2
,即S=[*], 由题设,[*]此即以V,为未知函数的微分方程,分离变量得[*]两边积分得[*]由已知, 当t=0时,[*];当t=3时,[*]代入上式分别得到[*]联立此二式可解出[*]从而有[*]令V=0,则t=6, 即雪堆全部融化需6小时.
解析
本题为实际问题,可通过建立数学模型转化为数学问题来解决,但要注意速度为失量,把“体积融化的速率与半球面面积S成正比”理解为
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考研数学二
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