(2001年试题，九)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时?

admin2021-01-19 67

问题 (2001年试题，九)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的

，问雪堆全部融化需要多少小时?

选项

答案以半径r为未知函数，雪堆在时刻t的体积[*]，侧面积s=2πr²，由题设知[*]化简上式即可得到以r为未知函数的微分方程[*]解之得r=一kt+C，由初始条件r｜_t=0=r₀，可得出C=r₀，所以r=r₀一kt又由已知[*]从而[*]可求出=[*]，因此r=r₀一[*]，雪堆全部融化时r=0，从而[*]，得t=6，即全部融化需6小时．解析二以雪堆体积V为未知函数，在时刻[*]，侧面积-S=2πr²，即S=[*]，由题设，[*]此即以V，为未知函数的微分方程，分离变量得[*]两边积分得[*]由已知，当t=0时，[*]；当t=3时，[*]代入上式分别得到[*]联立此二式可解出[*]从而有[*]令V=0，则t=6，即雪堆全部融化需6小时．

解析本题为实际问题，可通过建立数学模型转化为数学问题来解决，但要注意速度为失量，把“体积融化的速率与半球面面积S成正比”理解为

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考研数学二

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考研数学二

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设矩阵A与B=相似，则r(A)+r(A一2E)=_________。

求微分方程y’’(x+y’2)=y’满足初始条件y(1)=y’(1)=1的特解．

求下列y(n)：

设说明y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；

求不定积分

设3阶矩阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，对应的特征向量依次为(1)将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；(2)求Anβ(n为正整数)．

设向量组α1=(a，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时,回答下列问题：β可由α1,α2,α3线性表出，且表示唯一；

A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．

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