(2001年试题，九)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时?

admin2021-01-19 57

问题 (2001年试题，九)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的

，问雪堆全部融化需要多少小时?

选项

答案以半径r为未知函数，雪堆在时刻t的体积[*]，侧面积s=2πr²，由题设知[*]化简上式即可得到以r为未知函数的微分方程[*]解之得r=一kt+C，由初始条件r｜_t=0=r₀，可得出C=r₀，所以r=r₀一kt又由已知[*]从而[*]可求出=[*]，因此r=r₀一[*]，雪堆全部融化时r=0，从而[*]，得t=6，即全部融化需6小时．解析二以雪堆体积V为未知函数，在时刻[*]，侧面积-S=2πr²，即S=[*]，由题设，[*]此即以V，为未知函数的微分方程，分离变量得[*]两边积分得[*]由已知，当t=0时，[*]；当t=3时，[*]代入上式分别得到[*]联立此二式可解出[*]从而有[*]令V=0，则t=6，即雪堆全部融化需6小时．

解析本题为实际问题，可通过建立数学模型转化为数学问题来解决，但要注意速度为失量，把“体积融化的速率与半球面面积S成正比”理解为

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考研数学二

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