设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX＝B有解的充分必要条件是r(A)＝r(AB)．

admin2019-07-22 43

问题设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX＝B有解的充分必要条件是r(A)＝r(A

B)．

选项

答案设B、X按列分块分别为B＝[b₁ b₂ … b_p]，X＝[χ₁ χ₁ … χ_p]，则AX＝B即[Aχ₁ Aχ₂ … Aχ_p]＝[b₁ b₂ … b_p]，故AX＝B有解[*]线性方程组Aχ_j＝(j＝1，2，…，p)有解，由非齐次线性方程组有解的充要条件，即得AN＝B有解[*]r(A)＝r[A[*]b_j](j－1，2，…，p)[*]A的列向量组的极大无关组也是矩阵[A[*]b](j＝1，2，…，p)的列向量组的极大无关组[*]r(A)＝r[A b₁ b₂ … b_p]＝r(A[*]B)．

解析

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考研数学二

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