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设矩阵A、B的行数都是m.证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(AB).
设矩阵A、B的行数都是m.证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(AB).
admin
2019-07-22
43
问题
设矩阵A、B的行数都是m.证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A
B).
选项
答案
设B、X按列分块分别为B=[b
1
b
2
… b
p
],X=[χ
1
χ
1
… χ
p
],则AX=B即[Aχ
1
Aχ
2
… Aχ
p
]=[b
1
b
2
… b
p
],故AX=B有解[*]线性方程组Aχ
j
=(j=1,2,…,p)有解,由非齐次线性方程组有解的充要条件,即得AN=B有解[*]r(A)=r[A[*]b
j
](j-1,2,…,p)[*]A的列向量组的极大无关组也是矩阵[A[*]b](j=1,2,…,p)的列向量组的极大无关组[*]r(A)=r[A b
1
b
2
… b
p
]=r(A[*]B).
解析
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考研数学二
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