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  3. (09年)设y=y(x)在区间(一π．π)内过点的光滑曲线．当一π＜x＜0时．曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

(09年)设y=y(x)在区间(一π．π)内过点的光滑曲线．当一π＜x＜0时．曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

admin2021-01-19  114
问题 (09年)设y=y(x)在区间(一π．π)内过点的光滑曲线．当一π＜x＜0时．曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．
选项
答案曲线在(x，y)处的法线方程为 [*] 由于当一π＜x＜0时，法线过原点，所以有[*]由此可得，y2=一x2+C． 因为点[*]在曲线上，所以C=π2. 则所求曲线为x2+y2=π2(一π＜x＜0)． 当0≤x≤π时，由y"+y+x=0解得．y=C1cosx+C2sinx一x 由于曲线是光滑的，则 y(0—0)=y(0+0)， y-’(0)=y+’(0) 而 y(0—0)=π,y(0+0)=C1，则C1=π． y-’(0)=0，y+’(0)=C2一1。则C2=1 [*]
解析
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考研数学二

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