设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x,y)的全微分. 求f(x);

admin2019-06-28  36

问题 设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式
                [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
为某二元函数u(x,y)的全微分.
求f(x);

选项

答案由题知,存在二元函数u(x,y),使 du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy, 即 [*] 由于f(x)具有一阶连续导数,所以u的二阶混合偏导数连续,所以有 [*] 即有 x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy, f’(x)+f(x)=x. 又f(0)=0,可求得f(x)=x一1+e-x

解析
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