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  3. [2005年] 计算二重积分∣x2+y2一1∣dσ，其中D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}．

[2005年] 计算二重积分∣x2+y2一1∣dσ，其中D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}．

admin2021-01-19  58
问题 [2005年]  计算二重积分∣x2+y2一1∣dσ，其中D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}．
选项
答案 去掉被积函数的绝对值符号将积分区域分为两部分积分即可． [*] 将D分成D1与D2两部分，如图1．5．1．6所示．应用二重积分关于区域的可加性，去掉绝对值再积分，得到 [*]∣x2+y2一1∣dσ=[*](1一x2一y2)dσ+[*](x2+y2一1)dσ． 而[*](1一x2一y2)dσ=∫0π/2dθ∫01(1一r2)rdr=[*], [*](x2+y2一1)dσ=[*](x2+y2一1)dσ一[*](x2+y2一1)dσ =∫01dx∫01(x2+y2－1)dy+[*](1一x2一y2)dσ =∫01f(x2一[*])dx一∫0π/2dθ∫01(r2—1)rdr =一1／3一(一π／8)=π／8—1／3． 故[*]∣x2+y2一1∣dσ=[*]
解析
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考研数学二

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