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[2005年] 计算二重积分∣x2+y2一1∣dσ,其中D={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1}.
[2005年] 计算二重积分∣x2+y2一1∣dσ,其中D={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1}.
admin
2021-01-19
44
问题
[2005年] 计算二重积分
∣x
2
+y
2
一1∣dσ,其中D={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1}.
选项
答案
去掉被积函数的绝对值符号将积分区域分为两部分积分即可. [*] 将D分成D
1
与D
2
两部分,如图1.5.1.6所示.应用二重积分关于区域的可加性,去掉绝对值再积分,得到 [*]∣x
2
+y
2
一1∣dσ=[*](1一x
2
一y
2
)dσ+[*](x
2
+y
2
一1)dσ. 而[*](1一x
2
一y
2
)dσ=∫
0
π/2
dθ∫
0
1
(1一r
2
)rdr=[*], [*](x
2
+y
2
一1)dσ=[*](x
2
+y
2
一1)dσ一[*](x
2
+y
2
一1)dσ =∫
0
1
dx∫
0
1
(x
2
+y
2
-1)dy+[*](1一x
2
一y
2
)dσ =∫
0
1
f(x
2
一[*])dx一∫
0
π/2
dθ∫
0
1
(r
2
—1)rdr =一1/3一(一π/8)=π/8—1/3. 故[*]∣x
2
+y
2
一1∣dσ=[*]
解析
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考研数学二
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