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设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,且满足方程f〞(x)+x2fˊ(x)-2f(x)=0, 证明:若f(a)=f(b)=0,则f(x)在[a,b]上恒为0
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,且满足方程f〞(x)+x2fˊ(x)-2f(x)=0, 证明:若f(a)=f(b)=0,则f(x)在[a,b]上恒为0
admin
2020-03-05
31
问题
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,且满足方程f〞(x)+x
2
fˊ(x)-2f(x)=0,
证明:若f(a)=f(b)=0,则f(x)在[a,b]上恒为0
选项
答案
证明(用反证法) 若最大值M>0,设f(x
M
)=M,x
M
∈(a,b) 则由费马定理得fˊ(x
M
)=0,又f(x
M
)为极大值 则f〞(x
M
)<0,另由题设得 f〞(x
M
)=-x
2
Mfˊ(x
M
)+2f(x
M
)=2f(x
M
)=2M>0 (与f〞(x
M
)<0矛盾)故最大值M≤0 同理可证最小值也必为0,所以f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m都必为零 因为f(a)=f(b)=0,则f(x)在[a,b]上恒为零
解析
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考研数学一
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