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  3. 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，且满足方程f〞(x)+x2fˊ(x)－2f(x)＝0， 证明：若f(a)＝f(b)＝0，则f(x)在[a，b]上恒为0

设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，且满足方程f〞(x)+x2fˊ(x)－2f(x)＝0， 证明：若f(a)＝f(b)＝0，则f(x)在[a，b]上恒为0

admin2020-03-05  13
问题 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，且满足方程f〞(x)+x2fˊ(x)－2f(x)＝0，
证明：若f(a)＝f(b)＝0，则f(x)在[a，b]上恒为0
选项
答案证明(用反证法) 若最大值M＞0，设f(xM)＝M，xM∈(a，b) 则由费马定理得fˊ(xM)＝0，又f(xM)为极大值 则f〞(xM)＜0，另由题设得 f〞(xM)＝－x2Mfˊ(xM)+2f(xM)＝2f(xM)＝2M＞0 (与f〞(xM)＜0矛盾)故最大值M≤0 同理可证最小值也必为0，所以f(x)在[a，b]上的最大值M和最小值m都必为零 因为f(a)＝f(b)＝0，则f(x)在[a，b]上恒为零
解析
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考研数学一

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