设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，且满足方程f〞(x)+x2fˊ(x)－2f(x)＝0，证明：若f(a)＝f(b)＝0，则f(x)在[a，b]上恒为0

admin2020-03-05 43

问题设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，且满足方程f〞(x)+x²fˊ(x)－2f(x)＝0，
证明：若f(a)＝f(b)＝0，则f(x)在[a，b]上恒为0

选项

答案证明(用反证法) 若最大值M＞0，设f(x_M)＝M，x_M∈(a，b) 则由费马定理得fˊ(x_M)＝0，又f(x_M)为极大值则f〞(x_M)＜0，另由题设得 f〞(x_M)＝－x²^{Mfˊ(x_M)+2f(x_M)＝2f(x_M)＝2M＞0
(与f〞(x_M)＜0矛盾)故最大值M≤0
同理可证最小值也必为0，所以f(x)在[a，b]上的最大值M和最小值m都必为零
因为f(a)＝f(b)＝0，则f(x)在[a，b]上恒为零}

解析

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